Héhéhé il en manque 2 en fait.
C'est facile à "voir" car les symboles n'ont pas le même nombre d'occurrence.
Jeremie dit:En fait dans une solution optimale il y aura forcément autant de cartes que de symboles et ce nombre est de la forme n^2 + n + 1
Ce qui pour 16 symboles (par carte si j'ai bien suivi la demande), soit n = 15, donne 15x15+16 = 241 dessins différents, et potentiellement 241 cartes...
Si au contraire la demande est d'avoir 16 dessins différents, on tombe entre le cas n=3 (3x3 + 4 = 13) et n=4 (4x4 + 5 = 21). Donc 21 cartes, 21 dessins différents, 5 symboles par carte.
Oui mais n=15 n'est pas un nombre premier et du coup l'algo que je donne ne marche pas (Z/15Z n'a pas de structure de corps sur laquelle s'appuyer pour la construction).
Je ne sais pas si l'on peut faire la construction d'une autre manière dans ce cas.
Du coup groslapinos proposait de prendre n=16 (2^4) et d'utiliser l'algo du quadrature. En utilisant le mien c'est seulement garanti en prenant n=17.
Du coup, on fait des cartes avec trop de symboles et on enlève ensuite le nombre voulu pour tomber sur le nombre de cartres souhaité.
Pour illustrer : en prenant mon algo avec n=4 on a :
21 cartes
Carte 1 : 0 1 2 3 4
Carte 2 : 0 5 6 7 8
Carte 3 : 0 9 10 11 12
Carte 4 : 0 13 14 15 16
Carte 5 : 0 17 18 19 20
Carte 6 : 1 5 9 13 17
Carte 7 : 1 6 10 14 18
Carte 8 : 1 7 11 15 19
Carte 9 : 1 8 12 16 20
Carte 10 : 2 5 10 15 20
Carte 11 : 2 6 11 16 17
Carte 12 : 2 7 12 13 18
Carte 13 : 2 8 9 14 19
Carte 14 : 3 5 11 13 19
Carte 15 : 3 6 12 14 20
Carte 16 : 3 7 9 15 17
Carte 17 : 3 8 10 16 18
Carte 18 : 4 5 12 15 18
Carte 19 : 4 6 9 16 19
Carte 20 : 4 7 10 13 20
Carte 21 : 4 8 11 14 17
Et du coup des problèmes :
Carte 7 : 1 6 10 14 18
Carte 17 : 3 8 10 16 18
on deux symboles communs par exemple...
Jeremie dit:Héhéhé il en manque 2 en fait.
C'est facile à "voir"
wow, le monde des maths et autres algorithmes n'est décidément pas pour moi.
j'aime bien le "facile à voir"
Jeremie dit:Edit: l'article est légèrement différent car il donne un algo pour faire des dooble à p^k+1 cartes (avec p premier, la je donne uniquement pour k=1). Doit y avoir une ruse car Z/p^kZ n'est pas un corps... j'aurais eu tendance à mettre à part le cas ou p=2 aussi mais bon...Z/p^kZ n'est pas un corps mais il existe un corps à p^k éléments (unique à isomorphisme près).
On le construit comme un corps de rupture d'un polynôme irréductible de degré k (penser à la construction de C comme P[X]/X^2+1).
Et tant qu'on y est, tout corps fini comporte p^k éléments, et p s'appelle la caractéristique du corps.
Ah oui merci, c'est loin tout ça pour moi mais c'est rigolo.
Bon en même temps à l'époque c'est la théorie de Galois qui m'avait fait réaliser que je n'aurai pas de carrière académique en algèbre 
Je remonte un vieux sujet !
J'ai beau lire tes explications plusieurs fois, je pige pas tout à 100% (trop compliqué)
Le truc que je ne comprends, c'est en quoi c'est génant d'avoir un nombre premier ?
Dans mon message d'origine, quand je disais 16, c'est elle et bien le nombre de symboles par cartes, hors visiblement ce nombre ne te convient pas. Cependant le Dubble normal, comporte 8 symboles, un nombre premier également, hors ce n'est pas génant !
Le nombre de symboles différents au total, et le nombre de carte à produire m'importent peu en fait, je cherche juste à faire un Dobble à 16 symbole par carte, après, peu importe les symboles que je dois chercher et les cartes que je dois produire 
Euh... 8 et 16 ne sont pas des nombres premiers...
Les nombres premiers, c'est les nombres indivisibles : 2 3 5 7 11 13 17 etc...
Euh oui j'ai inversé ce que je voulais dire....
En gros pourquoi 16 pose problème mais pas 8 ?
Je viens de relire le sujet :
Jeremie t'a proposé un lien qui te donne une solution pour les nombres premiers impairs ; ça veut pas dire que c'est impossible de faire un dobble à 16, mais juste que son lien ne marche pas pour 16.
astur dit:
Sinon, si j'avais à le faire je commencerais par étaler les 110 cartes sur une table et ensuite les regrouperais par paires identiques (en me repérant sur les symboles les plus gros de la carte) ensuite je redistribuerais chaque paire dans chacun des jeux ... Pas sûr que ça t'aide beaucoup
Le mieux, c'est face cachée, cela fait un excellent mémory.
tu retournes 2 cartes : identiques => gagné tu rejoue et tu sépares les 2 cartes.
sinon, on les retourne face cachée et hop au joueur suivant.
Il te faut une gde table, et la partie peut durer qq jours. A prévoir donc.
mrf
Le détail, c'est que c'est pas le nombre qui doit être premier, mais le nombre - 1.
Or 8-1 = 7 est bien premier, contrairement à 16-1 = 15
edit : d'ailleur, je viens de tenter avec 5 (donc 5-1 = 4 pas premier). Théoriquement 21 cartes, pas trop compliqué à concevoir, et bien je bloque : une fois 17 combinaisons créées, il y a impossibilité d'en trouver une 18ème sans 2 points communs.
mutley dit:Je remonte un vieux sujet !
J'ai beau lire tes explications plusieurs fois, je pige pas tout à 100% (trop compliqué)
Le truc que je ne comprends, c'est en quoi c'est génant d'avoir un nombre premier ?
Dans mon message d'origine, quand je disais 16, c'est elle et bien le nombre de symboles par cartes, hors visiblement ce nombre ne te convient pas. Cependant le Dubble normal, comporte 8 symboles, un nombre premier également, hors ce n'est pas génant !
Le nombre de symboles différents au total, et le nombre de carte à produire m'importent peu en fait, je cherche juste à faire un Dobble à 16 symbole par carte, après, peu importe les symboles que je dois chercher et les cartes que je dois produire
Alors reprenons :
I. Relation entre Dobble et plan projectif fini
Un plan projectif (abstrait) c'est un ensemble de points (les symboles) avec une série de sous-ensemble de points appelés droites (les cartes), qui vérifie les deux axiomes suivants :
deux droites se coupent toujours en un et un seul point
*par deux points donnés il passe toujours une et une seule droite
(Ensuite on écarte de la discussion les plans projectifs "débiles" où il y a un point commun à toutes les droites).
Si le nombre de points est fini on a un plan projectif fini. En comptant un peu on s'aperçoit que toutes les droites ont le même nombre de points et que si ce nombre est n+1 alors il y a n^2+n+1 droites et n^2+n+1 points.
Un "Dobble" ne demande que le second axiome (deux cartes ont toujours un unique symbole en commun).
Mais si on impose au Dobble d'avoir un maximum de cartes pour un nombre de symbole par carte donné (j'appelle ça un "Dobble complet"), on trouve la même relation (n+1 et n^2+n+1), ce qui permet de retrouver le premier axiome.
Par exemple, le vrai Dobble du commerce est bien un "Dobble" mais pas un "Dobble complet".
Donc à un détail de vocabulaire près, un Dobble complet est un plan projectif fini.
II. Plans projectif finis et corps finis
Je ne dis pas ce qu'est un corps fini, on s'en fiche pour cette discussion. C'est beau les maths !
Ce qu'il faut savoir, c'est que le nombre d'éléments d'un corps fini est une puissance de nombre premier.
Par exemple une puissance de 2 (2, 4, 8, 16, ...), une puissance de 3 (3, 9, 27, 81, ...) mais pas 6 car c'est 2x3. Il n'existe pas de corps à 6 éléments.
Ensuite, quand on a un corps fini, on peut construire un plan projectif fini avec. On peut même faire un dessin, mais sur un forum c'est compliqué.
Si le corps comporte N éléments (donc avec n=p^k, p premier), le plan obtenu aura N^2+N+1 points, N^2+N+1 droites, et chaque droite comportera N+1 points.
Par contre, quand on a un plan projectif fini, on peut y trouver un corps fini ou pas (et chose amusante, cela "se voit" sur sa géométrie).
Si il y a un corps (fini) dans le plan projectif (fini), alors le nombre d'éléments du corps est une puissance d'un nombre premier et le nombre de points par droite moins un aussi.
Enfin, on ne sait pas si il existe des plans projectifs finis sans corps fini sous-jacent.
On sait par contre qu'il n'en existe pas pour 7 points par droite(), et il y a un théorème quelque part qui donne des valeurs pour lesquelles il n'existe pas de plan.
(*) Un plan projectif avec 7 points par droite serait facile à construire avec un corps à 6 éléments, mais on a vu qu'un tel corps n'existait pas. Du coup pour le plan projectif il faut regarder à la main.
Moralité, un Dobble à 8 symboles par cartes, c'est facile il suffit de passer par le corps à 7 éléments (7 est premier).
9 symboles par cartes, il faut un corps à 8 éléments, 8=2^3, c'est bon.
10 symboles par cartes, il faut un corps à 9 éléments, 9=3^2, c'est bon.
6 symboles par cartes, il faut un corps à 5 éléments, 5 est premier, c'est bon.
7 symboles par carte, on a vu que cela n'existait pas - à moins de réintégrer les Dobble "débiles" dans la discussion (toutes les cartes ont l'escargot en commun !).
15 symboles par cartes, on aimerait avoir un corps à 14 éléments pour le construire. Mais 14=7*2, cela ne marche pas.
16 symboles par cartes, on aimerait avoir un corps à 15 éléments pour le construire. Mais 15=5*3, cela ne marche pas.
Du coup on ne sait pas si c'est possible - sauf si le théorème que je ne connais pas règle la question en disant que cela ne l'est pas.
lynkowsky dit:Le détail, c'est que c'est pas le nombre qui doit être premier, mais le nombre - 1.
Or 8-1 = 7 est bien premier, contrairement à 16-1 = 15
edit : d'ailleur, je viens de tenter avec 5 (donc 5-1 = 4 pas premier). Théoriquement 21 cartes, pas trop compliqué à concevoir, et bien je bloque : une fois 17 combinaisons créées, il y a impossibilité d'en trouver une 18ème sans 2 points communs.
lynkowsky dit:edit : d'ailleur, je viens de tenter avec 5 (donc 5-1 = 4 pas premier). Théoriquement 21 cartes, pas trop compliqué à concevoir, et bien je bloque : une fois 17 combinaisons créées, il y a impossibilité d'en trouver une 18ème sans 2 points communs.
4 n'est pas premier, mais comme c'est une puissance de 2 (qui est premier) on sait que ça doit marcher.
On commence par une carte :
ABCDE
On fait les autres cartes avec le A. Il en faut 5 :
AFGHI
AJKLM
ANOPQ
ARSTU
Ensuite il faut faire les cartes avec le B. Elles contiennent à chaque fois une de chaque groupe FGHI JKLM NOPQ RSTU.
Idem pour C, D et E.
Et pour chaque groupe les lettres ne peuvent être sur la même carte.
Il faut donc des permutation de 4 éléments.
Par exemple identité (1234), décalage à droite (2341), ce qui donne :
BFJNR BGKOS BHLPT BIMQU
CFKPU CGLQR CHMNS CIJOT
On complète avec ce qui reste :
DFMOT DGJPU DHKQR DILNS
EFLQS EGMNT EHJOU EIKPR
Je te laisse vérifier si je me suis trompé
Ulmo_F dit:
BFJNR BGKOS BHLPT BIMQU
CFKPU CGLQR CHMNS CIJOT
On complète avec ce qui reste :
DFMOT DGJPU DHKQR DILNS
EFLQS EGMNT EHJOU EIKPR
Je te laisse vérifier si je me suis trompé
CIJOT et DFMOT ça va pas
En fait, je suis parti comme toi pour les A, les B et les C. Et là, ça coince. Mais bon, si tu dis que c'est possible, doit y avoir un truc
Même départ que Ulmo_F
ABCDE
AFGHI
AJKLM
ANOPQ
ARSTU
BFJNR
BGKOS
BHLPT
BIMQU
Là je décale de 1 de plus à chaque ligne:
CFKPU
CGLQR
CHMNS
CIJOT
Là je décale de 2 de plus à chaque ligne:
DFLNU
DGMOU
DHJPR
DIKQS
Là je décale de 3 de plus (ou 1 de moins au choix ) à chaque ligne
EFMPS
EGJQT
EHKNU
EILOR
j'arrive bien à 21 cartes. J'ai une erreur ?
EFMPS et CFKPU : F et P en commun.
Au moins une :
CHMNS
EFMPS
[edit] ah ben du coup ça en fait au moins deux
[redit] et une 3ème : CGLQR et EGJQT et EILOR
en fait je crois que le dernier groupe ne colle pas du tout.
Ca y est, je l'ai eu ! Bon, l'idée c'est de permuter par 2 (en lien avec le raisonnement mathématiques qui dit que ça marche car n-1 = 4 = 2 x 2 (2 premier) pour construires les séries de B et C. Après ça déroule.
ABCDE
AFGHI
AJKLM
ANOPQ
ARSTU
BFJNR
BGKOS
BHLPT
BIMQU
CFKPU
CGJQT
CHMNS
CILOR
DFLQS
DGMPR
DHJOU
DIKNT
EFMOT
EGLNU
EHKQR
EIJPS
Vu la galère quand on part pas d'un nombre premier, j'ose pas imaginer avec un truc qui correspond pas au modèle... Bref, pour 16, je suggèrerai, si un dingue veut tenter, de partir sur 3 groupes de 5 qu'on permute en interne...
Malheureusement ce n'est toujours pas bon :
CGKQT et EIJPS n'ont pas d'élément commun.
et deux en commun dans CFKPU et CGKQT
[edit] ah, ça doit être une erreur de frappe ! c'est CGJQT au lieu de CGKQT ?