http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_d … enveloppes
Voici le lien vers le paradoxe des deux enveloppes, pour les intéressés.
Pour augmenter les chances au-delà de 1/2, je ne vois pas vraiment comment y parvenir. J’ai deux, trois idées, mais ça me paraît trop saugrenue pour répondre de façon pertinente à ton problème.
Docteur Mops dit:Laidzep dit:Ca me rappelle une autre énigme, également, mais je me souviens plus vraiment de l'énoncé.
Merci à toi, Groslapinos, c'est bien du paradoxe de l'enveloppe dont je parlais. Lu dans un ouvrage de Smullyan, je crois bien.
Y'a une fiche sur wikipédia qui expose le problème, je viens de vérifier.
Ok je viens de regarder. Ce n'est pas vers ça que je vous emmène. Les enveloppes me semblent se rapprocher du Paradoxe de Monthy Hall.
Donc ma question reste valable : Peut-on trouver une stratégie permettant d'avoir plus 1/2 chance de gain ?
Si on est entre -infini et + infini, je pense que non.
grolapinos dit:Docteur Mops dit:Laidzep dit:Ca me rappelle une autre énigme, également, mais je me souviens plus vraiment de l'énoncé.
Merci à toi, Groslapinos, c'est bien du paradoxe de l'enveloppe dont je parlais. Lu dans un ouvrage de Smullyan, je crois bien.
Y'a une fiche sur wikipédia qui expose le problème, je viens de vérifier.
Ok je viens de regarder. Ce n'est pas vers ça que je vous emmène. Les enveloppes me semblent se rapprocher du Paradoxe de Monthy Hall.
Non, ce n'est pas lui mais il lui est proche "dans l'esprit". Je ne trouve pas l'article wiki sur la question, mais j'en avais causéICI avec d'autres du genre.
Docteur Mops dit:Donc ma question reste valable : Peut-on trouver une stratégie permettant d'avoir plus 1/2 chance de gain ?
En pratique, non, sauf à avoir une idée de la façon dont les chiffres inscrits sur les cartes sont choisis. Même si tu dis que c'est "entre 0 et 100", tu ne donnes finalement qu'une information très partielle. Une telle connaissance ne peut en fait s'obtenir que statistiquement.
Il faut supposer en efffet que les nombres sont équiprobables et aléatoires.
petezahh dit:grolapinos dit:jmguiche dit:Honte à moi. Et pas qu'un peu. C'est particulièrement crétin ce que j'ai écrit ! La prochaine fois, c'est promis, je reflechis avant !
Rassure-toi, j'ai un doctorat de probas et j'ai récemment sorti une énormité bien pire que celle-là...
Tu as promené ta femme? Ok, je
ah merci... merci... merci !
j'ai ri aux larmes et ça fait du bien
Donc ma question reste valable : Peut-on trouver une stratégie permettant d'avoir plus 1/2 chance de gain ?
Je vais tenter une réponse, mais je suis perplexe quand à sa validité.
Prenons un nombre A quelconque.
Si la première carte est supérieur à A, je garde. Sinon, je change.
Je vois trois cas:
1- Si les deux cartes sont inférieurs à A, je gagne une fois sur deux.
2- Si les deux cartes sont supérieurs à A, je gagne une fois sur deux.
3- Si une des deux cartes est supérieur à A, et l'autre inférieur à A, je m'assure une stratégie gagnante dans ce cas.
Le cas 3 m'assure une réussite, car la probabilité d'apparition de ce cas n'est pas nulle.
Ce qui est surprenant, et ce qui me fait dire qu'il y a un truc qui cloche, c'est que la probabilité est p > 1/2, mais on ne sait pas combien.
Si le raisonnement est juste, on a donc plus d'une chance sur deux.
Pas mal !!!
Voici la curieuse méthode proposée par David Blackwell de l’université de Californie à Berkeley :
- Générez un nombre R de manière aléatoire suivant une loi gaussienne
- Retournez une carte de score N1
Si R>N1 retournez la carte de score N2.
Si R< N1 gardez N1.
Imaginons que N1<N2.
Soit p la proba de choisir R<N1
Soit q la proba de choisir R>N2
Supposons que R<N1. Avec p=1 vous gagnez 1 fois sur 2.
Si R>N2 avec q=1, idem…
Mais si N1<R<N2 'est une situation strictement positive 1-p-q puisque la distribution gaussienne attribue une probabilité positive à tout intervalle.
En prenant compte les 3 situations :
vous gagnez avec : p/2+q/2+1-p-q
Ce qui s’écrit aussi : 1/2+(1-p-q)/2
Qui est donc supérieur à 1/2 puisque 1-p-q est positif…
Pour exemple (rf Pour la Science n°381)
Si N1=1 et N2=PI
La loi gaussienne donne p=0.8413 et q=0.0008.
Et la stratégie proposée donne une proba de gain de plus de 57%.
Ben moi ça m’épate…
Finalement, j’étais pas complètement à-côté de la plaque.
Moi, ce qui me surprend là-dedans, c’est que quel que soit le nombre R choisi, on augmente la probabilité au-delà de 1/2, simplement en s’imposant une contrainte arbitraire.
C’est surement une stratégie à adopter pour des cas plus concrets, comme pour un pari sportif, ou un achat. La probabilité doit pouvoir monter assez haut pour des cas de ce genre.
La pertinence du R choisie est relativement mesurable dans un contexte bien précis, et dans les exemples de la vie quotidienne, on est souvent obligé d’admettre 0 pour borne inférieur.
A-priori, si on est à 57 % pour le cas proposé dans l’exemple, on doit être bien au-dessus pour des cas où les possibilités sont plus réduites.
Je suis surpris, moi aussi. Le résultat est innatendu.
Docteur Mops dit:...
Le souci, et l'exemple est frappant de ce point de vue, c'est qu'il n'y a pas de pondération par rapport à la distribution de probabilité du choix des deux nombres. Je vais y réfléchir un peu à tête reposée, mais j'ai comme un doute. Blackwell est un grand nom des statistiques, à mon avis, cet exemple lui servait dans ses cours à illustrer un des nombreux paradoxes qu'on arrive à créer en probas si on fait ses conditionnements avec les pieds.
Je suis pas assez calé pour voir un biais à ce raisonnement.
En revanche, j’ai l’impression qu’il est possible d’exploiter ce type de raisonnement pour optimiser certaines situations.
Je veux acheter un jeu de société.
Deux personnes me proposent de me le vendre. Si je refuse le prix du premier, je serai contraint de le prendre au second, car le premier le vendra à un autre.
Je choisis au préalable un prix théorique qui me semble pertinent.
Si le premier me propose un prix supérieur à ce prix théorique je refuse, et je le prend au second, au prix qu’il me demandera.
Sinon j’accepte le prix du premier, si celui-ci est inférieur au prix théorique.
Suivant le raisonnement pré-cité, je dois pouvoir augmenter mes chances au-delà de 1/2, sans toutefois, être capable d’estimer de combien.
Il me semble que cela doit dépendre de la pertinence du prix théorique que je me fixe.
Laidzep dit:Il me semble que cela doit dépendre de la pertinence du prix théorique que je me fixe.
Très exactement... Tu ne vas pas fixer le prix à 150000 euros ni à 0,001 euro, parce que tu as une idée de la fourchette de prix possibles. C'est ce que j'entends par "pas de pondération bla-bla-bla" dans mon post au dessus.
Ceci dit, toujours pas réfléchi. Faudra que je me doculente, parce qu'à première vue, le raisonnement reste de tout façon théoriquement valable, même si dans la pratique impossible à mettre en place.
Sur le reste de ce que tu dis, je sais que c'est une technique de recrutement. On reçoit le candidat n°1, qui fixe le seuil, et on embauche le premier candidat parmi ceux qui suivent qui est supérieur au n°1. Si tous les suivants sont moins bons, en n'embauche personne.
Sur que plus N1 et N2 sont proches plus la proba tend vers 1/2.
Est-ce que quelqu’un connaît exactement l’article de Blackwell ?
Je n’ai jamais lu l’article original mais seulement des extraits et/ou traductions françaises.
Je vais sans doute vous paraître présomptueux, mais selon moi, dans cet article, Blackwell commet d’énormes erreurs en négligeant les transitions entre théorie mathématique et monde réel.
Ne serait-ce que la phrase : “Générez un nombre aléatoire R suivant une loi gaussienne”
Qu’est-ce que ça veut dire ? Quel est le sens de cette phrase ?
Qui parmi vous sait générer un nombre aléatoire suivant une loi gaussienne ? Ah mais un ordinateur sait le faire à peu près ? Et bien alors, on se ramène à un problème discret où les nombres sont compris entre 1 et 1 milliard par exemple, et ce n’est plus du tout le même problème, et la gaussienne devient inutile, et la solution de Blackwell ne marche plus car je peux choisir deux nombres consécutifs.
J’aimerais bien avoir vos avis éclairés là-dessus.