CP : Calcul Préliminaire facile… 1/N – 1/(N+1) = 1/Nx(N+1)
et inversement CPI : 1/N – 1/Nx(N+1) = 1/(N+1)
1 = 1 –1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + 1/4 – etc…
1 = (1 –1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – etc…
d’après CP…
1 = 1/2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4.5 + etc… => Ligne A
Je passe 1/2 de l’autre coté : A = B + C <=> A - B = C
1 – 1/2 = 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4.5 + etc…
d’après CPI …
1/2 = 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4.5 + etc… => Ligne B
je passe 1/2.3 de l’autre côté
1/2 - 1/2x3 = 1/3x4 + 1/4.5 + etc…
d’après CPI 1/2 - 1/2.3 = 1/3
1/3 = 1/3x4 + 1/4.5 + etc…=> Ligne C
Je fais la somme des lignes A+B+C+D etc…
A gauche du “=”, j’ai 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + etc…A droite, j’ai 1/2 + (1/2.3+1/2.3) + (1/3.4+1.3.4+1/3.4) + etc…soit 1/2 + 1/3 + 1/4 etc…
et donc …
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + etc… ?=? 1/2 + 1/3 + 1/4 etc…
Les calculs semblent un peu longs mais sont du niveau de CP…
Amic, Alain
PS. j’avais aligné les calculs pour rendre le tout plus lisible, mais les blancs ont été écrasés…
Il me semble que si tu ne divise pas par 0, tu ajoutes et soustrait l’infini…
Ce n’est pas tres différent !
A chaque ligne, je n’ajoute et je ne soustrais qu’un seul nombre, pas l’infini et la série 1 -1/2 +1/2 -1/3 +1/3 etc… ne vaut pas l’infini, mais seulement 1 !
Je rejoins cependant jmguiche : dans ton equation finale, les deux sommes sont infinies.
Pour ajouter au trouble, on peut démontrer à peu près n’importe quoi très simplement:
1 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/2 + 1/2 -1/2 + 1/2 …
en regroupant,
1 = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/2) + (1/2 - 1/2) …
1 = 1/2 + 0 + 0 + 0 …
donc 1 = 1/2
(Evidemment, comme j’ai simplifié le raisonnement, l’aberration apparaît peut-être plus facilement)
Remarquez qu’ici, pas de doute, on ne retranche pas de somme infinie. Je prend donc la défense d’Alain en disant que là n’est pas la faille.
Il n’y aurait pas une relation interdite entre addition et multiplication, par hasard ?
dans l’enonce d’Alain, il y a 2 erreurs, celle de l’infini ET une autre que l’on voit bien dans l’enonce de nim.
On est proche de la solution. 
Il y a bien 1 erreur et une interprétation erronée
1+ infini = 0 + infini, c’est vrai. On ne peut juste pas simplifier par l’infini.
Pour l’autre, c’est un peu plus subtile mais cela tourne autour de la remarque de nim. 1 = 1 -1/2 + 1/2 etc… 
sauf que son équation est fausse sur des longueurs finies, alors que la mienne est vraie: Pour tout epsilon petit, il existe N0 tel que pour tout N>N0, 1 - (1-1/2+1/2-1/3+ … +1/N) < epsilon. alors que pour min, cette différence vaut soit 0, soit 1/2…
Et pour finir de vous troubler, le raisonnement est parfaitement valable avec les carrés : 1 = 1 -1/2x2 + 1/2x2 - 1/3x3 + 1/3x3 -1/4x4 etc… 
Amic, Alain
En fait, celle décrite par nim n’est pas vraiment dans le premier énnoncé.
En effet, nim introduit la somme d’une série qui ne converge pas, ce qui est interdit, alors que les séries dans les lignes A, B, … du post d’Alain convergent bien. En revanche, dans la dernière équation, il compare deux infinis.
Etienne
C’est bien vu, ma série ne converge pas et la première affirmation de mon énoncé est fausse!
On n’a pas répondu à cette énigme…
l’affirmation 1=0 telle qu’énoncée par l’ami calin est fausse car elle signifierait que 1/n=0 ce qui est faux : 1/n tend vers 0.
En fait, l’affirmation 1/n - 1/(n+1)=1/n(n+1) est vrai pour tout n différent de -1, 0, et 1.
D’où le raisonnement biaisé d’Alain.
EtienneS dit:En fait, celle décrite par nim n'est pas vraiment dans le premier énnoncé.
En effet, nim introduit la somme d'une série qui ne converge pas, ce qui est interdit, alors que les séries dans les lignes A, B, ... du post d'Alain convergent bien. En revanche, dans la dernière équation, il compare deux infinis.
Etienne
A mon avis, ceci est la bonne synthèse pour la réponse:
Le problème initial est un problème de soustraction d'infini,
Mon problème est un problème de suite non convergeante (l'énoncé même de mon problème est faux)
Tout le monde est d'accord ou je loupe une subtilité?
hop: la soluce:
Il y a 2 erreurs mais pas dans les calculs :
1 grossière d’interprétation à la fin:
1 +1/2 + 1/3 etc… = 1/2 + 1/3 + etc… se traduit par 1+infini = 0+infini et on en conclue rien d’autre que ça et surtout pas 1=0.
Pour la seconde, tout vient de la première ligne et l’inversion.
en effet 1 + (1/2 -1/2) + (1/3 - 1/3) etc = (1-1/2) + (1/2-1/3) etc…
n’est vrai qu’avec une série absoluement convergente, mais pas avec une série simplement convergente ou divergente (comme celle de nim 1 -1/2+1/2-1/2+1/2…) Absoluement convergente veut dire que la somme des valeurs absolues convergent…
De plus, lors d’une permutation simple des paranthèses, on peut calculer la différence entre les 2 résultats qui dans ce cas précis, oh miracle, vaut 1…
Amic, Alain R
Alain R dit:Pour la seconde, tout vient de la première ligne et l'inversion.
en effet 1 + (1/2 -1/2) + (1/3 - 1/3) etc = (1-1/2) + (1/2-1/3) etc...
n'est vrai qu'avec une série absoluement convergente, mais pas avec une série simplement convergente ou divergente (comme celle de nim 1 -1/2+1/2-1/2+1/2...) Absoluement convergente veut dire que la somme des valeurs absolues convergent...
De plus, lors d'une permutation simple des paranthèses, on peut calculer la différence entre les 2 résultats qui dans ce cas précis, oh miracle, vaut 1...
Amic, Alain R
Ben on dirait que les 2 séries ne sont que simplement convergentes (puisqu'en valeur absolue 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... tend vers l'infini). Pourtant j'aurais tendance à dire qu'il y a bien égalité puisqu'elles convergent vers la même valeur (non?). Finalement, on compare 2 suites différentes, la permutation des parenthèses n'est qu'un artifice.
Non?
(ne pas taper, les maths, c'est loin derrière moi - 14 ans environ)