Deux pièges de proba classiques.

Les énigmes !
21
titoufred dit:
Simboubou dit:@Titoufred
Tu veux dire que comme j'ai donné des prénoms, j'ai rendue les enfants particuliers et du coup on retombe sur du 1/2 ?
J'aurai du dire un truc du genre : "J'ai deux enfants dont un fils, quelle est la proba que j'ai deux fils ?"

Oui c'est exactement ça.


Pas du tout, ces deux questions sont rigoureusement identiques à condition

-d'admettre que les sexes des enfants d'une fratrie sont indépendants et que la probabilité de chacun est 1/2 (douteux mais acceptable dans un modèle théorique faute de meilleures informations)
-que Dominique est un prénom donné de façon aussi fréquente aux garçons qu'aux filles (idem).
-que Pierre est un prénom de garçon.

Penser que donner des prénoms aux enfants change les probas est tout de même assez curieux... C'est un peu comme de croire que les probabilités changent quand on lance deux dés rouges au lie d'un dé rouge et un dé bleu.

Ceci dit, pour éviter les digressions, il vaut mieux donner un énoncé "brut", sans les prénoms.

Bref, tel que je lis la question, je réponds, sous les hypothèses ci-dessus, que la proba d'avoir deux fils est 1/3.
22

P(avoir deux garçons) = P(Dominique est un garçon) = 1/2

23

Sous les hypothèses d’indépendance et d’équirépartition (et du fait que l’on a deux enfants)

P( j’ai 2 garçons | mon premier enfant est un garçon) = 1/2
P( j’ai 2 garçons | un de mes enfants est un garçon) = 1/3

24

Pour la boiboite, la meilleur stratégie consiste à changer.

Ne pas changer = 1 chance sur trois d’avoir la bonne boite

Changer = 2 chances sur trois d’avoir une mauvaise boite au départ, puis une mauvaise boite est éliminé, et en échangant on récupère la bonne.

le problème devient évident en augmentant les valeurs :
100 boite dont une seule gagnante, choisissez une boite au hasard, ensuite 98 mauvaises boites sont éliminées, puis vous pouvez changer, vous changez ou pas ? ;)

25
YoshiRyu dit:...


Non. Relis.
L'espérance de la stratégie optimale dépend du fait que le présentateur sait dans quelle boîte est la récompense. Sinon il se passe quoi quand le présentateur élimine cette boîte par harsard ?
26
grolapinos dit:
titoufred dit:
Simboubou dit:@Titoufred
Tu veux dire que comme j'ai donné des prénoms, j'ai rendue les enfants particuliers et du coup on retombe sur du 1/2 ?
J'aurai du dire un truc du genre : "J'ai deux enfants dont un fils, quelle est la proba que j'ai deux fils ?"

Oui c'est exactement ça.

Pas du tout, ces deux questions sont rigoureusement identiques à condition
-d'admettre que les sexes des enfants d'une fratrie sont indépendants et que la probabilité de chacun est 1/2 (douteux mais acceptable dans un modèle théorique faute de meilleures informations)
-que Dominique est un prénom donné de façon aussi fréquente aux garçons qu'aux filles (idem).
-que Pierre est un prénom de garçon.
Penser que donner des prénoms aux enfants change les probas est tout de même assez curieux... C'est un peu comme de croire que les probabilités changent quand on lance deux dés rouges au lie d'un dé rouge et un dé bleu.
Ceci dit, pour éviter les digressions, il vaut mieux donner un énoncé "brut", sans les prénoms.
Bref, tel que je lis la question, je réponds, sous les hypothèses ci-dessus, que la proba d'avoir deux fils est 1/3.

Non c'est bien 1/2 car les noms des enfants donnent une information plus importante que juste savoir qu'il y a au moins un garçon parmi les 2 enfants.
Sans le nom des enfants il y a 3 possibilités :
*fille puis garçon
*garçon puis fille
*garçon puis garçon
donc 1 chance sur 3 que les 2 enfants soient des garçons.

Avec les prénoms, on a :
*Pierre puis Dominique fille
*Pierre puis Dominique garçon
*Dominique fille puis Pierre
*Dominique garçon puis Pierre
et là 1 chance sur 2 d'avoir 2 garçons.

Pour l'analogie avec les dés, en donnant les prénoms c'est comme si on donnait une information sur un dé précis (le dé rouge fait 3 par opposition à un des dés est égal à 3). Ici on a un dé Pierre et un dé Dominique et on nous dit que le dé Pierre est un garçon.
27

Gasp, tu as raison :pouicboulet:

Je n’aime pas ce genre de problème, car c’est la façon de le poser qui crée la difficulté et non le problème en lui-même. Ça donne une image fausse des probas.

Ceci dit, là, j’ai pas assez réfléchi, effectivement.

28

Je pense justement que ce genre de problèmes peuvent aider à comprendre ce que sont les probas.

Par exemple, voici quelques problèmes similaires en apparence :

1) Madame X a deux enfants. Je la croise à la sortie de l’école et voit un petit garçon qui se jette dans ses bras en criant “Maman”. Quelle est la proba que madame X ait deux garçons ?

2) Madame X a deux enfants. Je la croise à la sortie de l’école pour Garçons (vraiment réservée aux garçons, on est en 1950) et voit un petit garçon qui se jette dans ses bras en criant “Maman”. Quelle est la proba que madame X ait deux garçons ?

3) Madame X a deux enfants. Je la croise à la sortie de l’entraînement de foot et voit un petit garçon qui se jette dans ses bras en criant “Maman”. Quelle est la proba que madame X ait deux garçons ?

J’en rajoute deux autres :

4) Madame Y a deux enfants. Je travaille dans un magasin de vêtements pour filles dans son quartier. Un jour, je la vois entrer et hésiter devant le rayon robes. Je lui demande si elle compte acheter quelque chose pour l’un de ses enfants et elle me répond que oui.
Quelle est la proba que madame Y ait deux filles ?

5) Madame Y a deux enfants. Je la croise dans un magasin vêtements et la vois hésiter devant le rayon robes. Je lui demande si elle compte acheter quelque chose pour l’un de ses enfants et elle me répond que oui.
Quelle est la proba que madame Y ait deux filles ?

29

Ce que veut dire groslapinos c’est que la principale difficulté est de traduire en language mathématique l’énoncé et qu’en plus il faut faire des hypothèses qui sont implicites (genre proba garçon == proba fille).

Edit : dans ces exemples on se demande quelle est la probabilité qu’un enfant se jette dans les bras de sa mère si elle est devant lui. 1? 1/2? la même pour les filles et les garçons ? la même pour le plus jeune que l’ainé ? Quelle est la proba pour un enfant de jouer au foot ? proba dépendante du sexe ?..

Bref impossible de conclure vu que les questions sont formulées de manière incomplète.

Wikipedia explique assez bien la chose : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_deux_enfants

(avec une variante amusante à la fin)

30

C’est assez paradoxal le fait qu’en cherchant à intéresser les gens aux mathématiques, souvent jugées trop abstraites, on rajoute la difficulté de devoir formaliser un énoncé en langage mathématiques pour montrer qu’on peut appliquer les maths dans la vie de tous les jours. Et comme on le voit avec ce genre d’énigmes, c’est la partie traduction qui est la plus piégeuse.
Je ne suis donc pas sûr que ce genre d’énigme aide à comprendre les probas, car la formalisation est finalement une étape trop compliquée quand on peut se contenter de dire “soit Dominique est un garçon, soit c’est une fille, donc une chance sur 2 pour que Pierre et Dominique soient 2 garçons.” Après mon avis est sans doute teinté par mon expérience, vu qu’ayant fait une classe prépa, j’ai commencé les probas qu’en troisième année de licence et que j’ai peu vu les probas discrètes où on peut voir ce genre de problème, j’ai surtout étudié la théorie des probabilités qui n’est en fait que de la théorie de la mesure avec son propre vocabulaire (espérance au lieu d’intégrale, variable aléatoire plutôt que fonction, presque sûrement à la place de presque partout, etc…) qui complique plus qu’autre chose (dixit un de mes profs de proba).

Sinon pour les énoncés à la sortie d’école, là je dirai 1 chance sur 3, car je ne vois pas l’école comme une information supplémentaire pertinente, mais je peux me tromper.

Edit : en fait comme on voit l’enfant (ou juste le fait qu’il saute dans les bras de sa mère), on peut l’étiqueter en disant cet enfant est un garçon, l’autre est soit un garçon soit une fille donc finalement ici aussi, la proba que madame X est 2 garçons est 1/2. Le truc (si je ne me trompe pas) est que dans le cas 2 enfants dont un garçon, on n’a aucune info pour différencier les enfants, donc naturellement on raisonne sur ainé/cadet d’où 1 chance sur 3 (car on a besoin d’étiqueter les enfants pour dénombrer les différents cas possibles). Avec une info comme l’enfant se jetant dans les bras de la mère à la sortir de…, on peut raisonner sur l’enfant qui saute et l’autre.
D’un point de vue proba, on passe de 2 va X et Y pouvant être égales à Garçon ou Fille à une va X toujours égale à Garçon et une va Y pouvant être égale à Garçon ou Fille.
Cela me fait penser au chat de Schrödinger qui est soit mort soit vivant (1 chance sur 2) tant qu’on ne l’a pas observé. Juste le fait de le voir change les probas : il est mort ou vivant, pas les deux. Ici l’observation revient à nommer les enfants ou à en observer un à la sortie de l’école.

31
Lucide dit:j'ai surtout étudié la théorie des probabilités qui n'est en fait que de la théorie de la mesure avec son propre vocabulaire (espérance au lieu d'intégrale, variable aléatoire plutôt que fonction, presque sûrement à la place de presque partout, etc...) qui complique plus qu'autre chose (dixit un de mes profs de proba).

Ça aussi, à mon avis, c'est une idée assez fausse des probas, que j'ai eue moi aussi en L3 (enfin en Licence à l'époque, je suis un vieux de la vieille). Le vrai coeur des probas est la notion de conditionnement, qui n'a pas vraiment d'équivalent en analyse. L'enseignement des probas en France, jusqu'à il y a quelques années, était désastreux à cet égard :
-au lycée, du dénombrement (souvent difficile à l'excès), des boules de couleur dans des urnes (rébarbatif au possible et difficile aussi), et les quelques exemples classiques piégeux dont on parle en ce moment (et qui donnent l'impression d'une discipline inaccessible à un esprit normal) ;
-en prépa scientifique ou en DEUG (à part les filières Bio), rien, les probas sont oubliées ;
-puis subitement, retour des probas avec direct l'artillerie lourde, théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue et tout le bazar comme introduction (à mon avis aussi efficace que d'introduire l'addition et la soustraction par la notion de groupe).
Si avec ça on ne dégoûte pas les gens de s'intéresser aux probas...

Lucide dit:Cela me fait penser au chat de Schrödinger qui est soit mort soit vivant (1 chance sur 2) tant qu'on ne l'a pas observé. Juste le fait de le voir change les probas : il est mort ou vivant, pas les deux. Ici l'observation revient à nommer les enfants ou à en observer un à la sortie de l'école.


C'est un peu à côté de la discussion, mais c'est plus subtil que ça le chat de Schrödinger. Le point clé, ce n'est pas tellement que le chat ait une chance sur deux d'être mort ou vivant (ça c'est plutôt banal comme idée), c'est que tant qu'on ne l'observe pas, le chat est à la fois mort et vivant, plus "précisément" (pour ceux à qui ça pourrait parler), il est en quelque sorte (mort+vivant)/racine(2) (principe de superposition linéaire des états).
32

Dans le paradoxe du chat le gros truc c’est surtout que le chat est à la fois mort et vivant, il est dans une superposition d’états ce qui est très anti intuitif (qui est impossible pour plus de quelques particules).

Les particules quantiques suivant l’équation de Shrödinger peuvent exister dans un état superposé (mélange d’ondes) qui ne peut plus se maintenir si l’une des particules est observée. A ce titre voir l’expérience des fentes de Young avec un détecteur (disparition des interférences).

Ce qui est vraiment dingue c’est que l’on ‘voit’ par l’intermédiaire des franges d’interférence la matérialisation d’une densité de probabilité. Et effectivement de l’info en plus sélectionne les possibles (et cela se traduit dans le monde réel)

33

Edit grillé par le lapinos que je plussoie.

34
Jeremie dit:Non. Relis.
L'espérance de la stratégie optimale dépend du fait que le présentateur sait dans quelle boîte est la récompense. Sinon il se passe quoi quand le présentateur élimine cette boîte par harsard ?

C'est à toi de relire ma réponse, ou alors la question : le présentateur sait quelle est la bonne boite, dans la question comme dans ma réponse.
35
grolapinos dit:
Lucide dit:j'ai surtout étudié la théorie des probabilités qui n'est en fait que de la théorie de la mesure avec son propre vocabulaire (espérance au lieu d'intégrale, variable aléatoire plutôt que fonction, presque sûrement à la place de presque partout, etc...) qui complique plus qu'autre chose (dixit un de mes profs de proba).

Ça aussi, à mon avis, c'est une idée assez fausse des probas, que j'ai eue moi aussi en L3 (enfin en Licence à l'époque, je suis un vieux de la vieille). Le vrai coeur des probas est la notion de conditionnement, qui n'a pas vraiment d'équivalent en analyse. L'enseignement des probas en France, jusqu'à il y a quelques années, était désastreux à cet égard :
-au lycée, du dénombrement (souvent difficile à l'excès), des boules de couleur dans des urnes (rébarbatif au possible et difficile aussi), et les quelques exemples classiques piégeux dont on parle en ce moment (et qui donnent l'impression d'une discipline inaccessible à un esprit normal) ;
-en prépa scientifique ou en DEUG (à part les filières Bio), rien, les probas sont oubliées ;
-puis subitement, retour des probas avec direct l'artillerie lourde, théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue et tout le bazar comme introduction (à mon avis aussi efficace que d'introduire l'addition et la soustraction par la notion de groupe).
Si avec ça on ne dégoûte pas les gens de s'intéresser aux probas...

Je suis assez d'accord, mais ce que je voulez dire est que la base de la théorie de la probabilité est de la théorie de la mesure avec des termes différents. Ensuite les probabilistes l'utilisent différemment par exemple avec l'espérance conditionnelle, la formalisation théorie de la mesure sert à faire des probabilités, donc oui en effet le cœur des probas n'est pas là. Mais à la base l'outil est le même, mais de le nommer différemment peut déconcerter certains élèves pourtant bons en théorie de la mesure.
Quant à l'enseignement des probas, comment commencerais-tu ? Car le côté dénombrement devient vite piègeux comme tu le dis et le côté théorie de la mesure est souvent trop abstrait (par exemple les tribus, juste introduite avec leur définition, sans qu'on sache ce que ça représente). Tu parles du conditionnement comme cœur des probas, mais je ne vois pas comment commencer par là.
grolapinos dit:
Lucide dit:Cela me fait penser au chat de Schrödinger qui est soit mort soit vivant (1 chance sur 2) tant qu'on ne l'a pas observé. Juste le fait de le voir change les probas : il est mort ou vivant, pas les deux. Ici l'observation revient à nommer les enfants ou à en observer un à la sortie de l'école.

C'est un peu à côté de la discussion, mais c'est plus subtil que ça le chat de Schrödinger. Le point clé, ce n'est pas tellement que le chat ait une chance sur deux d'être mort ou vivant (ça c'est plutôt banal comme idée), c'est que tant qu'on ne l'observe pas, le chat est à la fois mort et vivant, plus "précisément" (pour ceux à qui ça pourrait parler), il est en quelque sorte (mort+vivant)/racine(2) (principe de superposition linéaire des états).

Je sais et c'était à cela que je me réferais, je voulais dire que quand on a juste l'info "2 enfants dont un garçon", c'est comme s'ils étaient dans une boite sans qu'on les voit et qu'il était tous les deux à la fois garçon et fille. Les nommer ou en voir un à la sortie de l'école, l'observation enlève l'incertitude et un des enfants est un garçon, ce qui ne laisse plus que le deuxième à déterminer. Mais en me relisant, il est vrai que cela n'est pas clair et que l'analogie est juste bonne pour le côté un des enfants est observé, l'autre n'étant pas vraiment garçon et fille à la fois, il est l'un ou l'autre. En gros je voulais juste dire que dans les 2 situations, l'observation a un impact important (sur les probas pour les enfants, sur l'état du chat de Schrödinger).
36
Lucide dit:Quant à l'enseignement des probas, comment commencerais-tu ? Car le côté dénombrement devient vite piègeux comme tu le dis et le côté théorie de la mesure est souvent trop abstrait (par exemple les tribus, juste introduite avec leur définition, sans qu'on sache ce que ça représente). Tu parles du conditionnement comme cœur des probas, mais je ne vois pas comment commencer par là.


Il n'y pas besoin de bases théoriques très poussées pour commencer à faire des probas de façon intuitive : cela est fait depuis des années dans les facs de bio ou d'éco, et depuis peu au lycée (de la même façon qu'il n'y a pas besoin de la théorie des ensembles pour commencer l'algèbre ni d'avoir une construction complète de R pour faire de l'analyse). Commencer à manipuler des événements, la formule de Bayes (c'est du conditionnement), puis les variables aléatoires discrètes, introduire les lois usuelles, puis les couples (encore du conditionnement), puis les variables aléatoires continues une fois qu'on dispose de l'intégrale, tout ça se fait très facilement. Même l'espérance conditionnelle, dans le cas de variables discrètes, est tout à fait envisageable (c'est fait en prépa EC), quoiqu'un peu déroutante (mais ça la rend bien plus naturelle ensuite que les définitions usuelles, projection orthogonale, dérivée de Radon-Nykodym ou autre qui restent très abstraites au départ).

Quand tout ceci est compris et que pas mal d'exercices élémentaires ont été faits, l'approche "mesure" est finalement beaucoup plus naturelle.
37

Vous devriez ouvrir un manuel de maths de seconde…

38

Lucide : “la proba que madame X ait 2 garçons est 1/2.”

Heu… non 1/4 comme pour tout le monde si l’on considère les chances d’avoir une fille ou garçon équiprobables.

39

De toute façon le problème est biaisé, Arthur ne savait pas ce que contenait les boîtes, et de toute façon ce n’est pas lui qui choisissait lesquelles étaient ouvertes mais le candidat. :kingboulet:

Cela dit j’ai adoré les 3 pages d’arguments qui me font regretter d’avoir choisi une voie scientifique différente des mathématiques. :)

40
Docteur Mops dit:Lucide : "la proba que madame X ait 2 garçons est 1/2."
Heu... non 1/4 comme pour tout le monde si l'on considère les chances d'avoir une fille ou garçon équiprobables.

Ce n'est pas beau de sortir la phrase de son contexte. Il ne faut pas oublier que l'on a vu un des 2 enfants sauter dans les bras de sa maman, et que c'était un garçon. L'incertitude n'est plus alors que de savoir si l'autre enfant de madame X est un garçon ou non, donc une chance sur 2.