Deux frères décident de vendre un troupeau de moutons afin de se partager l’argent.
L’ainé vend les moutons à la foire, le prix d’un mouton étant égal au nombre de mouton.
L’argent récolté est sous forme de pièces de 10 francs et de 1 franc (moins de 10).
L’ainé prend la première pièce; de 10 francs, puis le cadet la seconde, puis l’ainé…
et ainsi de suite jusqu’à ce que l’ainé prenne la dernière pièce de 10 francs,
le cadet prenant alors les pièces de 1 franc.
Pour le dédommager, l’ainé lui offre un livre.
Question : quel est le prix du livre ?
J’ai trouvé, mais je suis très intrigué… je n’arrive pas à expliquer pourquoi. Il faudra que j’y réflechisse, à moins que quelqu’un ne puisse trouver une preuve d’ici là.
rigolo ce phénomène 
pour que ce soit équitable, le livre doit valoir 4 francs, mais je ne sais pas pourquoi…
Je ne connais pas non plus le pourquoi du comment.
si quelqu’un sait démontrer ce phénomène, ça m’interresse aussi.
Quant à la réponse donnée par ceranor, elle n’est pas correcte.
mais je chipotte.
La réponse de Céranor n’est pas correcte ???
Je trouve la même pourtant…
ben disons que cette réponse correspond à la différence entre les deux frères. Pour que le partage soit équitable, il faut que le prix du livre corresponde à la moitié de cette différence.
Moi, ce qui m’intrigue, c’est que vous soyez intrigués. 
J’ai la bonne réponse, mais la méthode me semble facile et pas du tout “intrigante”. J’ai du louper quelque chose !
ben, ce qui est intrigant, c’est qu’il y a pleins de possibilités pour la taille du troupeau de moutons et qu’on retrouve toujours le même prix pour le livre. pas mal, non ?
Hello,
Bon, j’ai la réponse mais c’est un peu mathématique :
S’il y a N moutons, le prix des moutons est de N x N.
On sait que l’aîné prend 1 pièce de 10 de plus que le cadet, donc les dizaines du prix de vente sont impaires.
On peut toujours trouver P et Q, entiers, tels que : N = 10 P + Q
Donc, N x N = 100 P + 20 P x Q + Q x Q
On s’intéresse à la parité du chiffre des dizaines de N x N :
100 P n’a pas d’influence sur les dizaines (seulement les centaines)
20 P x Q a une dizaine paire quoiqu’il arrive
C’est donc Q x Q qui détermine la parité de la dizaine
Par définition, on a Q compris entre 0 et 9.
On teste Q x Q avec toutes les valeurs et on regarde la dizaine :
Pour 0, 1, 2, 3 => dizaine = 0 => paire => non
4 => 16 : dizaine = 1 => impaire => ok
5 => 25 : dizaine = 2 => paire => non
6 => 36 : dizaine = 3 => impaire => ok
7 => 49 : dizaine = 4 => paire => non
8 => 64 : dizaine = 6 => paire => non
9 => 81 : dizaine = 8 => paire => non
N ne peut donc être que de la forme 10 P + (4 ou 6)
Or de N x N = 100 P + 20 P x Q + Q x Q on peut aussi déduire que l’unité de ce nombre est donné par Q x Q (100 P influence les centaines et 20 P x Q les dizaines).
Donc, comme 4 x 4 et 6 x 6 se terminent tous les deux par 6, N x N se termine aussi par 6.
Le cadet reçoit donc 6 francs en pièces de 1 et l’aîné a 1 pièce de 10 de plus que lui.
La différence est donc de 4 francs et pour équilibrer il faut un livre à 2 francs…
CQFD
Traulen
belle démonstration.
bien joué
Superbe démonstration, chapeau Traulen! 
joli Traulen !
et oui, évidemment, je suis allée trop vite, encore toute étonnée par le phénomène…
pour la démonstration :
attention MATH 
Soit n le nombre de mouton (n entier naturel)
n=10*a+b avec a,b entier naturel (a=0,1,2,…,infinie) et (b=0,1,…,9)
par une identité remarquable ont a :
(1) n2=100a2+20ab+b2
(1) <=> n2=2(5a2+ab)*10+b2
d’après l’énoncé nous avons
Soit (2m+1) le nombre de pièce de 10 et p le nombre de pièce de 1.
(2) n2=(2m+1)*10+p avec m,p entier naturel (m=0,1,2,…,infinie) et (p=0,1,…,9)
d’apres (1) et (2) ont a
(3) (2m+1)*10+p=2(5a2+ab)*10+b2
or 2m+1 est impaire et 2(5a2+ab) est paire
l’egalité (3) n’est donc possible que si
(4) b2=(2q+1)*10+p avec q,r entier naturel (q=0,1,2,…,infinie) et (r=0,1,…,9) (i.e. les dizaines de b2 doivent être impaires)
on a donc b2=16 ou b2=36 c’est à dire p=6 quelque soit la valeur de a et pour b=4 ou b=6.
le prix du livre étant (10-p)/2=2
CQFD
Ahh, j’ai compris mon loupé : je croyais que c’était le nombre total de pièces qui était inférieur à 10, pas le nombre de pièces de 1 Fr… 