Pour un proto j’aurais besoin de votre aide pour de petites probas (j’avoue avoir perdu la quasi totalité de mes connaissances dans ce domaine…)
Il s’agit de tirages. Il y a 96 boules dans un sac, 24 x 4 couleurs. Ce sont des tirages de 5 boules. Quelle est la proba (en %) que 3 boules de la même couleur sortent ? 4 de la même couleur ? 5 de la même couleur ?
C’est un tirage sans remise, donc ça évolue je suppose ?
Merci 
5 de la même couleur, c’est très simple : 23/95 x 22/94 x 21/93 x 20/92 (il faut que la seconde soit de la même couleur que la première, il en reste alors 23 de sa couleur parmi 93, et pareil pour les 3 étapes suivantes.
4 de la même couleur : si on en tirait 4, on aurait une formule similaire à la précédente : 23/95 x 22/94 x 21/93. Comme on en tire 5, on augmente les probas par 5 (en gros, on peut avoir 1-2-3-4 identiques ou 1-2-3-5 ou 1-2-4-5 ou 1-3-4-5 ou 2-3-4-5). J’ai cependant un petit doute : au feeling, je dirais qu’avant de multiplier il faut retirer la proba équivalent à 5 identiques sinon on compte 5 fois ce cas là.
Bref, pour moi (mais sans certitude, faudrait que je sois plus en forme…) la proba d’avoir 4 de la même couleur ET la cinquième différente est :
23/95 x 22/94 x 21/93 x (1-20/92) x 5
Par le même raisonnement, tu obtiens la proba de 3 de la même couleur.
Une fois les calculs faits ça donne (sous toutes réserves d’erreur de raisonnement, mais les résultats me paraissent assez plausibles à vue de nez) :
- exactement 5 de la même couleur = 0,3%
- exactement 4 de la même couleur = 5%
- exactement 3 de la même couleur = 41%
- exactement 2 de la même couleur = 54%
Il est fort le cow-boy 
+1 pour deadwood man,
Merci Loïc ! Ca va m’aider à calibrer le machin 
Avoir fait une licence de maths - où j’étais assez bourrin sur tout ce qui est calcul (moins bon sur les trucs un peu fins) - c’est bien utile parfois
Mais attention, je garantis pas à 100% les réponses !
Je ne suis pas d’accord avec tes résultats.
La formule pour 3 boules, pour moi, est :
Règles de la multiplication ( = ET ) avec événements dépendants
P(A et B et C) = P(A) × P(B | A) x P(C | A | B)
Sur un tirage dans un jeu de 96 boules, on tire 3 boules simultanément sans remise des boules dans le paquet initial. La probabilité d’obtenir 3 boules de même couleur est :
24/96 x (24-1/96-1) x (24-2/96-2) soit 1,42%
P(A) - je tire 1 boule parmi les 24 d’une même couleur sur 96
P(B | A) - je tire 1 boule parmis les 23 restantes d’une même couleur sur 95
P(C | A | B) - je tire 1 boule parmis les 22 restantes d’une même couleur sur 94
Réflexion
sur 96 boules j’ai 4 x 24 soit 25% de chaque couleur
Sur un tirage dans un sac de 96 boules, la probabilité de tirer une boule rouge par exemple est de 24/96 soit 25%.
Il me paraît bizarre que le pourcentage augmente pour un tirage de 2, 3, 4 ou 5 ! Tirage plus difficile que d’en avoir 1 seule. Donc, le pourcentage doit s’affaiblir.
Pour ma part
3 = 1.42%
4 = 0.32%
5 = 0.07%
Lynko, je te laisse la parole.
@JYM non ça c’est la probabilité d’avoir toutes les boules d’une couleur prédéterminée : en effet le fait de mettre une proba de 24 / 96 pour le premier evenement n’a de sens que si tu forces la premiere couleur.
Il me semble que tu oublies que tu ne dois pas tirer de boule de la même couleur
soit 96/96 (une boule au hasard) * 23/95 * 22/94 (deux boules de même couleur) * 72/93 * 71/92 (deux autres boules) = 3.36%
je crois que Link a fait une erreur sur le x5 dans le tirage à 4 boules (répétée plus haut donc)
le (1 - 20/92) correspond bien à 72/92, la chance de tirer une boule de couleur différente, je ne vois pas pourquoi on multiplierait
2 de la même couleur = 10.8%
3 de la même couleur = 3.4%
4 de la même couleur = 1%
5 de la même couleur = 0.3%
après, les probas, c’était ya plus de 10 ans…
@ Groddur : pour que les calculs soient réalisables il faudrait que tu précises ta demande.
Tu veux la probabilité de tirer EXACTEMENT 2 / 3 / 4 / 5 boules d’une même couleur ou tu veux la probabilité de tirer AU MOINS 2 / 3 / 4 / 5 boules d’une même couleur ?
Aqua dit:Il me semble que tu oublies que tu ne dois pas tirer de boule de la même couleur
soit 96/96 (une boule au hasard) * 23/95 * 22/94 (deux boules de même couleur) * 72/93 * 71/92 (deux autres boules) = 3.36%
je crois que Link a fait une erreur sur le x5 dans le tirage à 4 boules (répétée plus haut donc)
le (1 - 20/92) correspond bien à 72/92, la chance de tirer une boule de couleur différente, je ne vois pas pourquoi on multiplierait
2 de la même couleur = 10.8%
3 de la même couleur = 3.4%
4 de la même couleur = 1%
5 de la même couleur = 0.3%
après, les probas, c'était ya plus de 10 ans...
Sauf que là ton total fait pas 100% ! En tirant 5 boules, on a forcément soit 2, soit 3, soit 4 soit 5 de même couleur ! Le x5 correspond au fait que la couleur "intruse" peut arriver en 5 positions différentes (on a soit J-J-J-J-X, soit J-X-J-J-J etc.)
@ JYM : tu as mal lu l'énoncé : tu as donné la proba d'avoir 3 boules de même couleur en en tirant 3 , il demande la proba d'en avoir 3 de même couleur en en tirant 5.
@Chewy203 : la proba d'avoir au moins est simple à calculer une fois qu'on a celle du exactement : suffit d'ajouter ! Exemple : "proba de au moins 4" = "proba de exactement 4" + "proba de exactement 5".
@Groddur : réflexion faite, je suis quasi sûr de mes résultats
c’est exact. Proba sur 3 boules en en tirant 3.
j’avais soufflé sur le "Ce sont des tirages de 5 boules. "
Ha ! heureusement que mes gosses ne lisent pas ce forum ; on leur dit toujours “prends le temps de lire CO-RREC-TE-MENT l’énoncé du problème”
lynkowsky dit:Sauf que là ton total fait pas 100% ! En tirant 5 boules, on a forcément soit 2, soit 3, soit 4 soit 5 de même couleur ! Le x5 correspond au fait que la couleur "intruse" peut arriver en 5 positions différentes (on a soit J-J-J-J-X, soit J-X-J-J-J etc.)
Exact, je n'avais pas du tout pensé à ce total de 100%...
Au bout de 10 min, j'ai enfin compris le coup de la couleur en 5 positions, c'est qu'on a la possibilité de faire ce tirage de 5 manières différentes. En fait, c'est exactement comme pour la proba de faire 5 avec 2 dés...
Et pour le cas où on ait 2 boules d'une couleur et 3 d'une autre, on le classe dans quelle catégorie ?
Dans mes calculs, c’est classé en 3 d’une couleur.
J’ai fait une simulation informatique du tirage.
et si je retrouve le 0.3 et 5% pour qu’il y ait 5 ou 4 boules de la meme couleur. Cela differe pour 3 :
J’obtient environ 34% (11% pour (3 2), 23% pour (3 1 1)).
Et résultat interessant, la repartition reste le même du premier tirage au 19eme
à comparer éventuellement avec tes premiers essais
En fait ma demande c’est la proba d’un tirage d’au moins 3 / au moins 4 / 5 boules de la même couleur 
En probas quand on sait pas bien faire le mieux est souvent de raisonner en nombre de cas “intéressants”/“nombre de cas possibles”
Nombre de cas possibles c’est choix de 5 boules (allez sans ordre, pour simplifier un chouia) parmi 96, donc C_96^5
Nombre de cas “intéressants” si on veut avoir exactement 4 boules identiques:
4 %choix de la couleur% * C_24^4 %4 boules parmi 24% * (96-24) %une boule doit être différente% = 1386/27683 ~ 0.05
Par le même raisonnement probas de faire exactement :
2 3 4 5
0.606 0.338 0.050 0.0026
Pour les amateurs de code/simulation, la solution complète en R :
sac ← rep(1:4,24)
N<-10000;(table(replicate(N,max(table(as.factor(sample(sac,5)))))))/N
Edit : évidemment si on veut les probas de faire “au moins 3” on additionne la proba de 3 4 et 5.
paxwax dit:J'ai fait une simulation informatique du tirage.
et si je retrouve le 0.3 et 5% pour qu'il y ait 5 ou 4 boules de la meme couleur. Cela differe pour 3 :
J'obtient environ 34% (11% pour (3 2), 23% pour (3 1 1)).
Et résultat interessant, la repartition reste le même du premier tirage au 19eme
à comparer éventuellement avec tes premiers essais
J'avoue que autant j'étais certain de moi pour 5, et 4, autant 3, il est un peu particulier, je vois où je me plante, mais trouve pas comment corriger
Pour 3 boules nombre de cas ‘intéressants’/‘nb cas totaux’:
4*binomial(24,3)*binomial(96-24,2) /binomial(96,5)
= 9372 / 27683
~ 0.3385
Edit : le cas à 2 boules est un poil plus délicat car il faut penser à décompter les cas ou on obtient 3 boules dans une autre couleur que celle choisie (ce n’est pas très difficile ici, par contre cela serait source de galères en passant à plus de 5 boules).
On peut aussi ruser car les probas doivent sommer à 1.
Oui, je vois ton calcul. Comme j’ai j’amais été bon avec les C (jamais su retenir une formule par coeur), j’ai calculé autrement (voir mon explication en page 1), et manifestement, je me plante sur le cas 3