3 prisonniers vont être soumis à l’épreuve suivante :
Chacun va se voir attribuer un chapeau avec une croix à l’arrière, dont la couleur aura été tirée à pile ou face : la croix sera blanche ou noire.
Les prisonniers seront ensuite alignés en file indienne. Le dernier de la file pourra voir la couleur des chapeaux de ses deux compagnons. Il devra alors deviner la couleur de son chapeau en annonçant “Blanc” ou “Noir”. S’il échoue, les prisonniers seront immédiatement exécutés. Sinon, celui se trouvant au milieu de la file (et pouvant voir la couleur du chapeau du premier de la file) devra à son tour deviner la couleur de son chapeau. S’il échoue, les prisonniers seront immédiatement exécutés. Sinon, le premier de la file devra à son tour se prononcer. S’il réussit, les prisonniers seront libérés, sinon ils seront exécutés.
La veille de l’épreuve, les prisonniers, informés de ce qui les attend, essayent d’élaborer une stratégie pour le lendemain. Que suggèreriez-vous si vous étiez l’un d’eux ?
Si j’ai bien compris chaque prisonnier est obligé de donner la couleur de son chapeau, donc le dernier de la file qui voit les chapeaux des 2 autres devra forcément choisir au hasard (il ne voit pas le sien et ne peut recevoir d’indications). Il y aura donc toujours une chance sur 2 pour qu’ils soient exécutés, mais je vois une stratégie pour que s’il ne se trompe pas, les autres non plus :
*si les deux chapeaux devant lui sont de la même couleur, le dernier de la file choisit de dire que le sien est noir. S’ils ne sont pas exécutés, comme les deux autres prisonniers savent alors qu’ils ont la même couleur de chapeau, le deuxième donne donc la couleur du chapeau devant lui et le premier de la file la même couleur,
*sinon le dernier de la file choisit blanc, en cas de succès, le deuxième choisit l’autre couleur par rapport au chapeau du premier de la file (il dit noir si le premier a blanc et vice versa) qui lui choisit l’autre couleur par rapport au second (dit blanc si le second a dit noir).
Au final, avec cette stratégie, les prisonniers ont une chance sur 2 de s’en sortir (mieux que le une chance sur 8 sans concertation).
Est-ce que les prisonniers ont une quelconque interaction pendant l’épreuve?
Est-ce qu’ils peuvent s’entendre? Est-ce qu’ils savent quand le prisonnier derrière eux prend sa décision?
Sinon il suffit de faire une technique du genre: si la croix sur ton chapeau est blanche, je passe tout de suite. Si la croix est noire, je marmonne pendant une minute en faisant semblant de réfléchir…
Bien vu Lucide.
Sauriez-vous maintenant trouver une stratégie optimale pour 4 prisonniers ?
Il existe une stratégie pour avoir une chance sur 2, quel que soit le nombre de prisonniers.
Le premier dit blanc si le nombre de chapeaux blancs devant lui est impair, noir sinon. En observant la parité du nombre de chapeaux blancs devant lui, l’avant-dernier peut deviner la couleur de son chapeau et ainsi de suite.
Oui Genji.
Moi je propose :
Le premier dit blanc s’il compte un nombre pair de blancs, noir sinon. Le suivant compte ce qu’il voit et en déduit le sien. Les suivants comptent ce qu’ils voient et ce qu’ils entendent, et en déduisent leurs couleurs.
Vu que le premier echec est éliminatoire, je vois pas comment il pourrait y avoir un solution à ce problème, le dernier de la file est quoi qu’il arrive obligé de se prononcer au hasard…
Il n’est pas possible de gagner à coup sur, mais il possible de gagner plus souvent que si chaque prisonnier tente une couleur au hasard.
On veut maximiser la proba de gagner.
On peut aussi généraliser avec plusieurs couleurs; pour 100 prisonniers et 10 couleurs:
Les prisonniers associent chaque couleur a un nombre, ex rouge=0, bleu=1, jaune=2, …, vert = 9. le premier prisonnier additionne les valeurs des 99 couleurs qu’il voit et annonce la couleur correspondant au chiffre des unités. (ex 62 → jaune). Le suivant effectue l’addition des 98 couleurs qu’il voit (ex 53), récupère le chiffre des unités (3) calcule sa couleur (10+jaune-3 = 9 → vert) et l’annonce.
Ainsi de suite jusqu’au dernier prisonnier.