Devant vous sont posées 8 enveloppes fermées contenant 8 sommes d’argent distinctes. Vous choisissez une enveloppe, l’ouvrez et regardez la somme d’argent qui s’y trouve. Vous devez alors décider, soit de garder cette enveloppe et renoncer à ouvrir les suivantes, soit de détruire l’enveloppe et continuer le jeu avec les 7 suivantes. Le but du jeu est de garder l’enveloppe contenant la plus grande somme d’argent parmi les 8 enveloppes de départ.
Quelle stratégie allez-vous adopter ?
en sous-pesant les enveloppe avant de les ouvrir, et prendre la plus lourdes, sauf si j’y sens des pièce de monnaie.
le hic, ce sont que des chèques avec des sommes différentes inscrit dessus.
(là il faudrait une balance électronique avec un différentiel au microns, pour comparer les poids de l’encre.
Les sommes d’argent disponibles sont-elle bornées ?
Disons que les enveloppes contiennent des chèques, et que les sommes ne sont pas bornées a priori
Tiens, je la connaissais avec seulement 2 enveloppes dont on sait que l’une contient le double de l’autre. Si ça intéresse, je relancerai dessus en demandant la meilleure stratégie. Mais chut ! Je ne veux pour l’instant pas déranger pendant qu’une autre énigme tourne…
Nighteye dit:en sous-pesant les enveloppe avant de les ouvrir, et prendre la plus lourdes, sauf si j'y sens des pièce de monnaie.
le hic, ce sont que des chèques avec des sommes différentes inscrit dessus.
(là il faudrait une balance électronique avec un différentiel au microns, pour comparer les poids de l'encre.
Euh, mouais...
"Un milliard d'euros" pèsera donc moins lourd que "Neuf euros et quatre vingts dix neuf cents"
Je ne vois pas l'intérêt
Quel est le but : maximiser la probabilité de choisir l’enveloppe contenant la somme max ou maximiser l’espérance de gain (je suppose que l’on gagne l’argent contenu dans l’enveloppe finale) ?
Simboubou dit:Quel est le but : ... 5 neurones de perdu
sinon, sans les ouvrir, je les place au dessus d'une casserolle d'eau bouillante, pour que la vapeur d'eau se colle à l'enveloppe et permette de voir à travers.
Simboubou dit:Quel est le but : maximiser la probabilité de choisir l'enveloppe contenant la somme max ou maximiser l'espérance de gain (je suppose que l'on gagne l'argent contenu dans l'enveloppe finale) ?
Le but est de maximiser la probabilité de choisir l'enveloppe contenant la plus grande somme d'argent. Disons qu'à la place des sommes d'argent contenues dans les enveloppes, on peut remplacer ça par des nombres écrits sur des bouts de papier. On ne gagne à ce jeu que si l'on a gardé l'enveloppe contenant le plus grand nombre. On ne gagne pas l'argent contenu dans l'enveloppe finale mais une somme fixe, admettons 10 000€.
titoufred dit:Simboubou dit:Quel est le but : maximiser la probabilité de choisir l'enveloppe contenant la somme max ou maximiser l'espérance de gain (je suppose que l'on gagne l'argent contenu dans l'enveloppe finale) ?
Le but est de maximiser la probabilité de choisir l'enveloppe contenant la plus grande somme d'argent. Disons qu'à la place des sommes d'argent contenues dans les enveloppes, on peut remplacer ça par des nombres écrits sur des bouts de papier. On ne gagne à ce jeu que si l'on a gardé l'enveloppe contenant le plus grand nombre. On ne gagne pas l'argent contenu dans l'enveloppe finale mais une somme fixe, admettons 10 000€.
Ok. Sauf que l'on ne sais pas quel est le plus grand nombre et quand on ouvre la meilleur enveloppe, on ne sait pas que c'est elle la meilleur.
Ce qui est compliqué, c'est bien le fait que les nombres n'aient pas de borne supérieur... Je réfléchis.
(Je me demande si l'idée n'est pas la même que le coup du problème des trois porte dont une seule est bonne...)
Simboubou dit:Ok. Sauf que l'on ne sais pas quel est le plus grand nombre et quand on ouvre la meilleur enveloppe, on ne sait pas que c'est elle la meilleur.
Oui ce serait plus simple si on connaissait le plus grand nombre : on ouvrirait les enveloppes les une après les autres jusqu'à tomber sur ce nombre!
Taquinerie mise à part je vois vraiment pas par quel bout prendre le problème...
Quand je dit “borné”, je veut dire qu’il y a une plus grand valeur possible MAIS cette valeur n’est pas forcément atteinte.
Je me lance avec une première idée :
- Ouvrir la première enveloppe et la jeter.
- Puis, ouvrir les autres jusqu’à en trouver une de valeur supérieure à la première.
On a alors :
- 1/8 que la première enveloppe soit la plus haute, auquel cas la proba de gagner est 0 (on a jeté la meilleur enveloppe, c’est fichu)
- 1/8 que la première enveloppe soit la deuxième plus haute, auquel cas la proba de gagner est 1. (on est sur qu’on va aller chercher la meilleure)
- 1/8 que la première enveloppe soir la troisième plus haute, auquel cas la proba de gagner est 1/2 (proba d’ouvrir la plus haute enveloppe AVANT la deuxième plus haute).
1/8 que la première enveloppe soir la quatrième plus haute, auquel cas la proba de gagner est 1/3…
Etc.
On a alors une probabilité de gagner :
(1/8) * (0+1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+(1/5)+(1/6)+(1/7)) = 0,32410714285714285714285714285714
J’ai bon ? Je suis complètement à coté de la plaque ? Je suis sur la bonne voie mais il y a mieux ?
je ne sais pas si c’est la bonne mais j’aime beaucoup ta réponse 
En appliquant ton idée sur un problème plus simple à trois enveloppe ça illustre bien.
Trois enveloppes : 1 2 et 3 (sachant que 1<2<3)
pour le tirage on a 6 possibilités et on applique chaque fois ta règle :
1 - 2 - 3 → on obtient 2
1 - 3 - 2 → on obtient 3
2 - 1 - 3 → on obtient 3
2 - 3 - 1 → on obtient 3
3 - 1 - 2 → on obtient 2
3 - 2 - 1 → on obtient 1
Donc une chance sur 2 de finir avec l’enveloppe 3.
bravo Simboubou pour ta réponse 
encore une merveille des proba!
La question que je me pose, c’est que se passe t-il quand on “récurssivise” le raisonnement ?
Bobby dit:Taquinerie mise à part je vois vraiment pas par quel bout prendre le problème...
Tu as essayé par derrière?
petezahh dit:Bobby dit:Taquinerie mise à part je vois vraiment pas par quel bout prendre le problème...
Tu as essayé par derrière?
C'est exactement ce que je fais : je passe derrière Simboubou... et j’essaye de comprendre ce qu'il dit ^^
Et là la lumière vient!
Bobby dit:petezahh dit:Bobby dit:Taquinerie mise à part je vois vraiment pas par quel bout prendre le problème...
Tu as essayé par derrière?
C'est exactement ce que je fais : je passe derrière Simboubou... et j’essaye de comprendre ce qu'il dit ^^
Mais c'est difficile de comprendre ce qu'il dit, avec la tête dans l'oreiller...
Cela dit, on a pas encore la réponse officielle de Titoufred.
Excellente stratégie Simboubou !
Qui améliore grandement ces chances par rapport à quelqu’un qui ne fait que garder une enveloppe au pif.
Cependant, il existe une stratégie encore meilleure…
Vu que moins on a d’enveloppes, plus cette stratégie paye, on pourrait améliorer cette stratégie en l’appliquant aussi au 7 enveloppes après la première. A moins que la deuxième enveloppe soit inférieure à la première, auquel cas on ne change rien…
Tout ça me fait dire, d’instinct :
On ouvre les enveloppes une à une tant que chaque enveloppe ouverte est supérieure à la précédente.
Dès que l’on a ouvert une enveloppe qui est inférieur à la précédente, on continue à ouvrir et on arête dès que l’on trouve une enveloppe Supérieur à toutes celles précédemment ouvertes.
(Je ne suis pas sûr… je fait le calcul et je reviens…)
EDIT : Non, en fait l’idée de départ n’est pas bonne.