Le problème est le suivant :
On se retrouve face à 2 enveloppes dont on ne sait qu’une chose, c’est que l’une contient le double de l’autre. Il est possible d’ouvrir l’une, puis l’autre, mais la dernière enveloppe ouverte est celle que l’on gagne. Au plan strictement statistique, quel est la meilleure chance d’optimiser son gain et pourquoi ?
Simboudou, tu as 30 secondes (c’est le handicap pour ceux qui s’y connaissent). 
En tout petit pour pas gâcher le plaisir de chercher :
c’est pas l’histoire de se choisir une valeur seuil, si l’enveloppe est en dessous du seuil on la jette, si elle est au dessus on la garde?
le but est de choisir une valeur seuil entre les 2 valeurs de contenues dans les enveloppes
EDIT : NB : tu as un “contrôle” sur ton seuil vu qu’on sait qu’une enveloppe est le double de l’autre, donc en ouvrant la première tu sais que l’autre est deux fois plus haute ou deux fois plus basse
Il n’y a pas de valeur seuil, puisque tu ne connais pas les valeurs respectives des enveloppes, seulement le fait qu’une enveloppe contient le double de l’autre. Pour concrétiser un peu, après avoir ouvert la première enveloppe, tu ne sais pas si la seconde contient le double ou la moitié de la précédente.
P.S. Simboudou, les 30 secondes sont écoulées.
Je ne sais pas si il y a un piège…
Quand on a ouvert une enveloppe, on a intérêt à la jeter pour ouvrir l’autre (car en ouvrant l’autre on a une espérance de valeur_première_enveloppe * 1.25)
Du coup, on va ouvrir les deux et se retrouver avec une espérance, en tout, de 1.5 * la_plus_petite_valeur. Donc rien de spécial. Et ça c’est louche…
Mais je sens que je tombe dans un panneau. XD
Je vais réfléchir encore… Je ne pense pas avoir raison.
Double post mais dans ce forum où personne ne passe…
Une idée :
Je fixe un seuil arbitraire.
J’ouvre une enveloppe.
Si sa valeur est inférieur ou égale au seuil , j’ouvre l’autre. Sinon je la garde.
Il y a alors trois cas :
- Mon seuil est inférieur au deux valeurs des enveloppes : mon espérance est de 1.5plus_petite_valeur
- Mon seuil est situé entre les deux valeur, la plus petite valeur incluse : mon espérance est de 2plus_petite_valeur.
- Mon seuil supérieur ou égale à la plus grande valeur : mon espérance est de 1.5plus_petite_valeur.
En tout, mon espérance est supérieure ou égale à 1.5plus_petite_valeur, donc c’est mieux qu’ouvrir une enveloppe au hasard.
Et ça marche même si on a pas la moindre idée des valeurs des enveloppes.
Je préférais ton premier élément de réponse, même si tes 2 lignes de calcul correspondaient à 2 énoncés différents. Mais comme tu étais tellement prêt du but, je lâche le morceau. Tu es trop fort…
1,5 c’est le coéficient multiplicateur de la valeur la plus faible correspondant à une valeur moyenne qu’on obtiendra dès l’ouverture d’une (seule) enveloppe.
Exemple : on a base 100 et 200 dans les enveloppes. On en ouvre une, et le montant moyen sur lequel on tombera est : 100 * 1,5 = 150.
1,25, c’est le coéficient multilicateur de la valeur de la première enveloppe ouverte si j’ouvre la seconde enveloppe. En gros, je peux m’attendre à obtenir 1,25 fois ma mise (1ère enveloppe) si j’ouvre la 2e enveloppe.
Exemple : on a base 100 dans la 1ère enveloppe, ce qui signifie que la 2e contient 50 ou 200. On ouvre la seconde, et le montant moyen sur lequel on tombera est : 50 * 0,5 + 200 * 0,5 = 125.
Quelle que soit la valeur de la première enveloppe, il est donc toujours intéressant de tenter sa chance, exclure la 1ère enveloppe ouverte (que l’on considère comme une mise indirecte), et ouvrir la seconde, car la chance de gain correspond en moyenne à 1,25 fois le montant de la première enveloppe. Intéressant, non ?
Non, ça ne parait pas bizarre puis qu’au final on a bien une espérance de 1.5.
Prendre une valeur seuil, comme je le dit, permet d’améliorer cette espérance. Mais si les valeurs de sont pas bornées, la proba mettre le seuil entre les deux tend vers 0, et on retombe sur 1.5.
puis-je refermer la première enveloppe après ouverture?
Réponse avec humour : non, car une enveloppe déchirée ne colle plus très bien, quel que soit le temps que tu mets à en lécher la tranche.
Réponse sérieuse : oui, c’est expliqué dans l’énoncé…
Simboubou dit:Non, ça ne parait pas bizarre
Oui, je me suis sûrement mal exprimé. Je ne trouve pas la réponse en soi bizarre, quand on reprend le raisonnement du début à la fin. Mais quand on a juste l'énoncé du problème, je trouve "intéressant" de tomber sur la réponse comme quoi, malgré qu'on ne connaisse pas les montants réciproques, il est toujours mieux de prendre la seconde enveloppe. Et une personne taquine conseillerait alors de prendre directement la seconde enveloppe, mais dans ce cas, il vaut mieux se rabattre sur la première...
Vous êtes presque prêt à jouer à Skull & Roses…
Je connais cette énigme et je peux vous affirmer avec la plus grande certitude qu’il ne sert strictement à rien de changer d’enveloppe. Je vous laisse chercher pourquoi…
Bah, on l’as pas dit ?
Richard dit:Vous êtes presque prêt à jouer à Skull & Roses...
La corélation n'est pas si mal trouvée.
titoufred dit:Je connais cette énigme et je peux vous affirmer avec la plus grande certitude qu'il ne sert strictement à rien de changer d'enveloppe. Je vous laisse chercher pourquoi...
Bien sûr que cela ne sert à rien. C'est pour cela que dans mon énoncé, j'ai bien écrit "Au plan strictement statistique".
“au plan strictement statistique”, qu’est-ce que ça veut dire ?
Le coefficient multiplicateur de 1,25 que tu exhibes dans ton raisonnement ne correspond à rien de concret, mais provient d’une grossière erreur.
Simboubou dit:intuitivement...
Je fixe un seuil arbitraire.
J'ouvre une enveloppe.
Si sa valeur est inférieur ou égale au seuil , j'ouvre l'autre. Sinon je la garde.
Il y a alors trois cas :
...
En tout, mon espérance est supérieure ou égale à 1.5*plus_petite_valeur, donc c'est mieux qu'ouvrir une enveloppe au hasard.
Et ça marche même si on a pas la moindre idée des valeurs des enveloppes.
Si le contenu des enveloppe et ton choix étaient tiré des entiers relatifs (ou des réels) peut être, mais la, je pense que ton raisonnement ne tient pas.
titoufred dit:"au plan strictement statistique", qu'est-ce que ça veut dire ?
Le coefficient multiplicateur de 1,25 que tu exhibes dans ton raisonnement ne correspond à rien de concret, mais provient d'une grossière erreur.
Question de point de vue, mais je suis volontiers prêt à apprendre de toi, si tu daignes partager ton savoir...
Si je te propose de miser 100 euros pour avoir 1 chance 2 de remporter 50 euros, et une chance sur 2 de remporter 200 euros, le gain moyen net statistiquement envisageable est de 25 euros par rapport à ta mise initiale.
Quand je prends la 2e enveloppe, j'abandonne la 1ère. On peut donc considérer que je mise indirectement le montant de cette enveloppe pour récupérer le gain de la seconde, ce qui crée une certaine analogie avec le cas précédent.
Je reconnais que dans la pratique, on prendrait une des 2 enveloppes sans se poser plus de questions. Mais au niveau de l'estimation statistique, on a toujours intérêt, après ouverture de la 1ère enveloppe de tenter sa chance avec la seconde.
La balle est dans ton camp, en t'espérant plus loquace pour m'éclairer.
Non, rien…
L’énoncé est trop imprécis pour le mathématiser directement. Il faut avoir quelques discussions préalables sur le sens de l’énoncé. (et c’est là finalement l’intérêt de cette énigme).
Les sommes ne sont a priori pas limitées (dans l’infiniment petit ou l’infiniment grand). Peut-on avoir 0,00000000000000000000000001€ comme montant sur la première enveloppe ? Au contraire peut-on avoir 10000000000000000000000000000000000000000€ ?
Si les sommes ne sont pas limitées, il me semble que le coup du seuil ne marche pas, au sens strict. Cependant, si l’on parle d’utilité de l’argent, ça pourrait peut-être servir.
Si les sommes étaient limitées, par exemple de 1 centime à 1 milliard d’euros, là on serait dans un tout autre problème, et, par exemple, on garderait évidemment toute enveloppe avec une somme supérieure à 500 millions d’euros…
On peut convenir qu’on est peut-être dans un troisième cas, avec des sommes allant de 1 centime à une grande somme raisonnable mais que l’on ne connaît pas, avec une précision de 1 centime…
Dans ce troisième cas, j’ai une probabilité non-nulle que mon seuil soit entre les deux valeurs, non ?