titoufred dit:"au plan strictement statistique", qu'est-ce que ça veut dire ? Le coefficient multiplicateur de 1,25 que tu exhibes dans ton raisonnement ne correspond à rien de concret, mais provient d'une grossière erreur.
Question de point de vue, mais je suis volontiers prêt à apprendre de toi, si tu daignes partager ton savoir... Si je te propose de miser 100 euros pour avoir 1 chance 2 de remporter 50 euros, et une chance sur 2 de remporter 200 euros, le gain moyen net statistiquement envisageable est de 25 euros par rapport à ta mise initiale. Quand je prends la 2e enveloppe, j'abandonne la 1ère. On peut donc considérer que je mise indirectement le montant de cette enveloppe pour récupérer le gain de la seconde, ce qui crée une certaine analogie avec le cas précédent. Je reconnais que dans la pratique, on prendrait une des 2 enveloppes sans se poser plus de questions. Mais au niveau de l'estimation statistique, on a toujours intérêt, après ouverture de la 1ère enveloppe de tenter sa chance avec la seconde. La balle est dans ton camp, en t'espérant plus loquace pour m'éclairer.
En théorie des probabilités, une erreur grossière et cependant très répandue (même chez des mathématiciens de haut niveau comme des chercheurs), est de considérer que s'il n'y a que deux issues possibles à une expérience, et que nous n'avons aucune information nous permettant de préférer une issue à l'autre, alors ces deux issues sont équiprobables et donc chacune a une chance sur deux de se produire. Le manque d'information est grossièrement traduit par l'équiprobabilité, alors que l'équiprobabilité devrait au contraire être démontrée.
Par exemple, ma soeur vient tout juste d'avoir un bébé. Quelle est la probabilté que ce soit un garçon ? Paf, tout le monde répond en choeur : bah une chance sur deux. Et bien non, loupé...
Ici, lorsque tu prends la première enveloppe et que tu constates qu'elle contient 100€, il y a bien deux issues possibles lorsque tu vas ouvrir la deuxième enveloppe : soit elle contient 50€, soit elle contient 200€. Cependant, tu n'as aucune raison valable d'affirmer que ces deux issues sont équiprobables. A partir de là, le calcul donnant une espérance de 125€ n'est pas bon.
Simboubou dit:Dans ce troisième cas, j'ai une probabilité non-nulle que mon seuil soit entre les deux valeurs, non ?
Quand tu dis "je fixe un seuil arbitraire", que veux-tu dire par là ? Comment fixes-tu ton seuil ? Quelle méthode emploies-tu ? Tu fixes une somme comme ça ? Dis-moi laquelle. Allez, imagine-toi devant les deux enveloppes. Donne-moi ton seuil.
titoufred dit:Ici, lorsque tu prends la première enveloppe et que tu constates qu'elle contient 100€, il y a bien deux issues possibles lorsque tu vas ouvrir la deuxième enveloppe : soit elle contient 50€, soit elle contient 200€. Cependant, tu n'as aucune raison valable d'affirmer que ces deux issues sont équiprobables. A partir de là, le calcul donnant une espérance de 125€ n'est pas bon.
Bon, je ne suis pas totalement d'accord avec toi sur ce coup, mais je commence à comprendre ton avis, ce qui m'est déjà bien précieux. Concernant les répartitions des naissances entre filles et garçons, celles-ci ne sont certes pas parfaitement équivalentes. Mais dans mon problème des enveloppes, je ne vois pas en quoi les chances ne seraient pas équiprobables, du moins dans l'estimation ce celui qui les ouvre selon l'énoncé du problème...
Si la première enveloppe contient 100 euros, les chances d’avoir dans la seconde enveloppe 50 euros ou 200 euros sont équiprobables que ce soit un RMIste ou Bill Gates qui te l’a tendue, puisque mon problème est posé en tant que tel…
Titoufred : je suis bien d’accord pour ce qui est du coup du une chance sur deux.
Seulement là, on ne se situe pas dans le monde réel mais dans un problème théorique. Du coup, pour l’exemple des filles/garçons par exemple, il me semble que le “une chance sur deux” est implicitement précisé.
j’ai 100% de chance si je peux refermer les enveloppes. j’ouvre la 1ere et je la referme j’ouvre la seconde s’il y a plus dans la seconde c’est la dernière ouverte s’il y avait plus dans la première, je referme la seconde et réouvre la première qui redevient la dernière ouverte
Docky dit:dans mon problème des enveloppes, je ne vois pas en quoi les chances ne seraient pas équiprobables, du moins dans l'estimation ce celui qui les ouvre selon l'énoncé du problème...
C'est bien ce que j'essaye d'expliquer plus haut. Ce n'est pas parce que tu n'as pas d'information te permettant de préférer (50€/100€) à (100€/200€) que les deux issues sont équiprobables. Il faut avancer un argument pour l'équiprobabilité. Ici, puisque l'on ne sait rien sur la façon dont sont choisis les montants des enveloppes, ça va être difficile. Tu pourrais considérer qu'en variant la personne choisissant le montant des enveloppes, tu fabriques une expérience aléatoire. Il faudrait alors demander à un très large panel de personnes de choisir des montants (x, 2x) pour confirmer ta théorie... Bonne chance !
Ce qu'il faut comprendre, c'est qu'à partir du moment où tu prends l'information "la première enveloppe contient 100€", tu passes de l'aléatoire du choix de l'enveloppe, à "l'aléatoire" du choix des montants contenus dans les enveloppes.
En résumé :
Avant de se décider pour telle ou telle enveloppe, tu as bien une chance sur deux de choisir la bonne. Tu choisis une enveloppe, mais tu ne l'as pas encore ouverte : tu as toujours une chance sur deux d'avoir choisi la bonne. Tu ouvres l'enveloppe et tu vois qu'elle contient 100€ : patatras, tu n'as plus une chance sur deux d'avoir choisi la bonne.
Cela impliquerait en effet que la personne ayant décidé du montant des enveloppes avait autant de chances de choisir (50€/100€) que (100€/200€), et ça tu n'en sais rien.
LiGLe dit:j'ai 100% de chance si je peux refermer les enveloppes. j'ouvre la 1ere et je la referme j'ouvre la seconde s'il y a plus dans la seconde c'est la dernière ouverte s'il y avait plus dans la première, je referme la seconde et réouvre la première qui redevient la dernière ouverte
Non, LiGle, tu dois accepter la dernière enveloppe ouverte. Et surtout, si tu ouvres, la seconde, c'est que tu as refusé la première. Sinon où serait le problème ?
titoufred dit:Cela impliquerait en effet que la personne ayant décidé du montant des enveloppes avait autant de chances de choisir (50€/100€) que (100€/200€), et ça tu n'en sais rien.
Si, j'en sais quelque chose puisque c'est l'énoncé de mon problème. Et ce sont mes personnages, mes enveloppes, mon argent... Bref, je pense qu'on a fait le tour du sujet puisque pour moi et pour quelques autres le problème semble résolu.
Excuse-moi. J’avais omis de préciser que si la première enveloppe contient 100 €, il y a 99% de chances pour que la seconde contienne 50 € et 1% de chances pour qu’elle contienne 200 €. Mais cela va de soi et me paraissait tellement logique ! Tu as donc parfaitement raison…
Le débat que nous somme en train d’avoir ne serait-il pas le vieux débat Bayesiens VS Non-Bayesiens ?
Pour les Bayesiens, un décideur rationnel fait la décision dans le risque, même si les probabilités sont subjectives. Décision dans le risque et décision dans l’incertitude sont équivalentes. C’est ce que soutient Docky.
Pour les non-Bayesiens, le risque est un cas particulier de l’incertitude, mais il n’y a pas équivalence. C’est ce que soutient Titoufred.
C’est gentil et constructif d’essayer de recadrer le débat. Pour moi, les choses sont encore plus simples que celles que tu décris.
On peut essayer de se distraire avec une énigme posée, en partant du principe qu’un énoncé est toujours une simplification d’une situation que l’on tente d’exposer afin que les bases de l’énigme soient assimilées, ce qui donne toute liberté ensuite à la réflexion, le cas échéant au plaisir de se dépatouiller les méninges. Ce qui n’est pas explicitement spécifié demande un peu de bon sens, peut être considéré comme une situation classique, normale.
On peut aussi chercher des problèmes au sein du problème, se repaître de contrer, dénaturer, jusqu’à en oublier le but initial, celui de s’amuser communément autour d’une énigme, rien de plus ambitieux que cela. Je n’irai pas demander dans un autre fil quels sont le poids, la taille, la matière des 8 enveloppes, comment est détruite la première enveloppe si je la cède, si la scène se passe sur terre, l’age du capitaine…
J’ai beau faire un effort de compréhension et de modération, je pense que sans mauvaise volonté l’énoncé de ce fil comme celui de l’autre fil se suffisent en eux-même, mais on peut compter des petits pois si ça fait plaisir (comme disent les allemands). Quand j’annonce qu’une enveloppe contient le double de l’autre, je trouve fort qu’on me rétorque à répétition et malgré mes réponses patientes que les répartitions ne sont pas équiprobables. Qu’on me pose une fois la question, croyant que là réside la clé de l’énigme, pas de problème, c’est bien normal. Mais au bout de x fois, ça lasse un peu…
titoufred dit: Si, j'en sais quelque chose puisque c'est l'énoncé de mon problème. Et ce sont mes personnages, mes enveloppes, mon argent... Bref, je pense qu'on a fait le tour du sujet puisque pour moi et pour quelques autres le problème semble résolu.
Poussons le bouchon un peu plus loin.
On prend la première enveloppe, qui contient une somme N. Mais on ne l'ouvre pas ! On ne sait donc pas combien vaut N, mais peu importe, dans l'autre il y a forcément N/2 ou 2N, donc on a intérêt à reposer la première sans même avoir regardé dedans pour prendre la seconde.
Mais quand on a la seconde en main, toujours non ouverte... on peut raisonner de la même façon pour prédire qu'on a plus à gagner à changer encore et reprendre la première. En fait à chaque fois qu'on change d'enveloppe sans même l'ouvrir on augmente le gain moyen, n'est-ce pas génial ?
Mais on peut aussi prendre le problème à l'envers. Quand on prend la première enveloppe, on peut dire que la seconde contient N. Donc celle qu'on a en main, qu'on ait regardé dedans ou non (ça ne change rien), contient soit 2N soit N/2. Du coup en changeant pour la seconde, on va soit perdre N par rapport à ce qu'on a, soit gagner N/2. Donc statistiquement la somme est plus grande dans la première enveloppe.
Evidemment c'est aussi faux que le premier raisonnement. En fait il n'est pas possible mathématiquement que les options 2N et N/2 soient équiprobables.
En fait, si j’ai bien compris, là où le coup du 1 chance sur deux ne tient pas, c’est qu’il n’existe aucune loi de probabilité telle que la répartition soit d’une chance sur deux quelque soit la valeur de l’enveloppe ouverte.
Bon, une dernière tentative, et après je renonce, au moins pour aujourd’hui…
Quand j’annonce qu’une enveloppe contient le double de l’autre, et que j’ouvre la première enveloppe avec un montant N, je ne sais pas si la seconde contient 2N ou N/2.
Comme dans l’énoncé, il n’est pas spécifié si celui qui a rempli l’enveloppe est RMIste ou millionnaire, s’il est radin ou généreux, s’il préfère les carottes ou les petits pois, on n’a aucun élément nous permettant de favoriser une option plutôt qu’une autre. On en reste donc au fait que la moitié ou le double du montant de ma première enveloppe se trouve dans la seconde.
Si je considère que je “mise” le montant de ma première enveloppe, puisque je l’abandonne avec son montant pour ouvrir la seconde dont je conserverai le montant quel qu’il soit, je perds N et ai alors 2 alternatives :
- dans un cas, j’obtiens N/2. Zut, c’était le radin. J’ai perdu ma “mise” de N pour n’en avoir finalement que la moitié. Quel jeu pourri.
- dans le second cas, j’obtiens 2N. Chouette, je suis tombé sur le millionnaire. J’ai doublé ma “mise”.
Aucun élément ne permet avant l’ouverture de la seconde enveloppe d’évaluer qu’une option est plus probable que l’autre. C’est mon énoncé, et c’est la raison pour laquelle on a le droit (j’y autorise, si, si) de penser que les 2 sus-nommées options sont équiprobables.
Quand au jeu statistique consistant à estimer qu’on a toujours intérêt à ouvrir la seconde enveloppe après avoir ouvert la première, et vice-versa, c’était justement le clou du spectacle. On a toujours intérêt à retenter sa chance car le gain moyen escompté (1,25N) est supérieur à la mise (N).
Et retournons le problème. Si les options n’étaient soit-disant pas équiprobables, ce à quoi je ne peux toujours pas me résoudre, alors on aurait une grande chance de pouvoir estimer selon le montant N si la seconde enveloppe contient N/2 ou 2N. Je vous demande donc comment peut-on cela, selon mon énoncé et mes explications ? Merci d’avance.
P.S. Simboudou, le couvert est servi sur ton autre fil. Tu aurais du spécifier la nationnalité des enfants…
On peut imaginer un énoncé où les options 2N et N/2 sont équiprobables : quand on prend la première enveloppe et qu’on voit combien elle contient, quelqu’un tire à pile ou face et met dans la seconde enveloppe soit le double si c’est pile, soit la moitié si c’est face, sans nous le dire bien sûr. Dans ce cas les deux options sont bien équiprobables, et le premier calcul est alors juste, on a intérêt à changer pour la seconde enveloppe.
Docky dit: Aucun élément ne permet avant l’ouverture de la seconde enveloppe d’évaluer qu’une option est plus probable que l’autre. C’est mon énoncé, et c’est la raison pour laquelle on a le droit (j’y autorise, si, si) de penser que les 2 sus-nommées options sont équiprobables.
C’est généreux de ta part d’autoriser à penser que les deux options sont équiprobables, mais c’est impossible mathématiquement. Tu dois imaginer par exemple que pour préparer les enveloppes, on choisit un nombre quelconque (enfin positif quand même) au hasard, on met cette valeur là dans l’une des deux enveloppes, et le double dans l’autre.
Mais il est impossible d’avoir une répartition équiprobable sur un ensemble infini de nombres, comme ça serait le cas dans ton énoncé. Il n’est pas possible de tirer un nombre positif quelconque et que toutes les valeurs possibles soient équiprobables.
C’est possible mathématiquement si on se limite aux nombres entiers et en fixant une borne supérieure, et dans la réalité aussi, on se doute bien que la valeur dans l’enveloppe sera inférieure à tout l’argent disponible dans le monde. Mais les deux options quant à la seconde enveloppe ne seront pas équiprobables.
tyrion dit:On peut imaginer un énoncé où les options 2N et N/2 sont équiprobables : quand on prend la première enveloppe et qu'on voit combien elle contient, quelqu'un tire à pile ou face et met dans la seconde enveloppe soit le double si c'est pile, soit la moitié si c'est face, sans nous le dire bien sûr. Dans ce cas les deux options sont bien équiprobables, et le premier calcul est alors juste, on a intérêt à changer pour la seconde enveloppe.
Es-tu bien certain que la pièce aura deux faces parfaitement identiques et un poids bien équilibré ? J'aimerais t'en voir faire la démonstration, sinon je doute de l'équiprobabilité face à ces deux points qui me chagrinent horriblement.
tyrion dit:C'est possible mathématiquement si on se limite aux nombres entiers et en fixant une borne supérieure, et dans la réalité aussi, on se doute bien que la valeur dans l'enveloppe sera inférieure à tout l'argent disponible dans le monde.
Merci, un peu de bon sens ! Et je réitère mes interrogations auxquelles aucune réponse n'a été apportée...
"Et retournons le problème. Si les options n'étaient soit-disant pas équiprobables, ce à quoi je ne peux toujours pas me résoudre, alors on aurait une grande chance de pouvoir estimer selon le montant N si la seconde enveloppe contient N/2 ou 2N. Je vous demande donc comment peut-on cela, selon mon énoncé et mes explications ? Merci d'avance."
Et plutôt qu'un exemple tarabiscoté à coups de x billions d'euros (je commence à vous connaître), je me contenterai d'une démonstration très simple, adaptée à mes modestes facultés. Imaginons 10 euros dans la première enveloppe. Je suis impatient de lire la suite, non pas un texte réfutant mais un texte avec une argumentation constructive...
Ce n’est pas facile d’expliquer tout ça, c’est un peu comme expliquer pourquoi quand tu lance trois pièces, tu n’as pas une chance sur deux qu’elles tombent toutes les trois sur la même face.
Je vais essayer quand même.
On peut considerer que l’une des enveloppe contient la valeur X, et l’autre la valeur 2X, X étant une variable aléatoire dont on ignore à priori la nature.
Mettons que la première enveloppe contienne 10€. On sait maintenant que X peut donc valoir 5 ou 10. Quand tu dit qu’il y une chance sur deux que l’autre enveloppe soit meilleure ou moins bonne, tu affirme :
P(X=5 | X=5 ou X=10) = P(X=10 | X=5 ou X=10) = 0.5
Appliquons le théorème de Bayes.
0.5 = P(X=5 | X=5 ou X=10) = P(X=5 ou X=10 | X=5) * P(X=5) / P(X=5 ou X=10) 0.5 = P(X=10 | X=5 ou X=10) = P(X=5 ou X=10 | X=10) * P(X=10) / P(X=5 ou X=10)
Or on sait que :
P(X=5 ou X=10 | X=5) = 1 P(X=5 ou X=10 | X=10) = 1 P(X=5 ou X=10) = P(X=5) + P(X=10)
Autrement dit, “Vu qu’il 10€ dans cette enveloppe, il y a une chance sur deux que l’autre enveloppe contienne 5 et une chance sur deux qu’elle en contienne 20” est équivalent à affirmer “Les valeurs 5 et 10 sont équiprobables”.
C’est une affirmation extrêmement forte ! Rien ne te permet d’affirmer ça, puisque que l’on ne sait rien sur la loi de X.
Certes, ça ne te permet pas de tout comprendre, mais au moins ça met en avant l’absurdité (au sens mathématique, ne le prend pas personnellement ) de l’affirmation initiale.
Je sais, ça ne répond pas parfaitement à ta question. Je vais tacher d’aller plus loin si j’y parviens. ^^
