2 enveloppes...

Les énigmes !
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Simboubou dit:Autrement dit, "Vu qu'il 10€ dans cette enveloppe, il y a une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne 5 et une chance sur deux qu'elle en contienne 20" est équivalent à affirmer "La valeur X ne peut prendre que les valeurs 5 et 10, et ces valeurs sont équiprobables".
C'est une affirmation extrêmement forte ! Rien ne te permet d'affirmer ça, puisque que l'on ne sait rien sur la loi de X.
On ignore la loi de X, et voilà que soudainement on affirme que l'on connait parfaitement cette loi.


J'apprécie grandement ton approche constructive, pédagogique et agréable. Merci sincèrement donc pour le développemennt de tes idées.

Je vais toutefois par pur dépit formuler les choses différemment, puisque personne n'a pour l'instant voulu ou pu répondre à ma question pourtant posée 2 fois à la suite...

Imaginons sans toujours vraiment savoir pourquoi que mon affirmation est extrêmement forte, peut-être même erronée. Je demande donc dans le doute ou dans l'ignorance des probabibilités réelles quelles sont vos estimations de tomber sur N/2 et celles de tomber sur 2N, ceci avec une petite démonstration qui va bien.

En attendant votre démonstration impatiemment, mais avec un peu de bon sens et sans être mathématicien 3e dan, je pense quand même qu'on devrait s'approcher sensiblement du 50/50, ou est-ce de nouveau une affirmation extrêmement forte ?

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Docky dit:
Imaginons sans toujours vraiment savoir pourquoi que mon affirmation est extrêmement forte, peut-être même erronée. Je demande donc dans le doute ou dans l'ignorance des probabibilités réelles quelles sont vos estimations de tomber sur N/2 et celles de tomber sur 2N, ceci avec une petite démonstration qui va bien.


Dans l'ignorance des probabilité réelles, comment pourrait-on calculer les probabilités de tomber sur N/2 ou 2N dans l'autre enveloppe ?


Par contre, plus je réfléchis plus je me demande si je n'ai pas moi même écrit n'importe quoi dans mon message précédent... je vais réfléchir encore...

EDIT : En effet, j'ai modifié la fin. Je t'invite à relire la conclusion :mrgreen:

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Bon, je reposte tout mon truc avec la suite :

Mettons que la première enveloppe contienne 10€. On sait maintenant que X peut donc valoir 5 ou 10.
Quand tu dit qu'il y une chance sur deux que l'autre enveloppe soit meilleure ou moins bonne, tu affirme :


P(X=5 | X=5 ou X=10) = P(X=10 | X=5 ou X=10) = 0.5

Appliquons le théorème de Bayes.

0.5 = P(X=5 | X=5 ou X=10) = P(X=5 ou X=10 | X=5) * P(X=5) / P(X=5 ou X=10)
0.5 = P(X=10 | X=5 ou X=10) = P(X=5 ou X=10 | X=10) * P(X=10) / P(X=5 ou X=10)

Or on sait que :

P(X=5 ou X=10 | X=5) = 1
P(X=5 ou X=10 | X=10) = 1
P(X=5 ou X=10) = P(X=5) + P(X=10)

Et donc :

0.5 = P(X=5 | X=5 ou X=10) = P(X=5) / (P(X=5) + P(X=10))
0.5 = P(X=10 | X=5 ou X=10) = P(X=10) / (P(X=5) + p(X=10))
<=> P(X=5) = P(X=10)



Autrement dit, "Vu qu'il 10€ dans cette enveloppe, il y a une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne 5 et une chance sur deux qu'elle en contienne 20" est équivalent à affirmer "Les valeurs 5 et 10 sont équiprobables".

C'est une affirmation extrêmement forte ! Rien ne te permet d'affirmer ça, puisque que l'on ne sait rien sur la loi de X.

Allons un peu plus loin, maintenant : quand tu dit "Quelque soit la valeur de l'enveloppe que j'ouvre, j'aurai intérêt à ouvrir l'autre".
Ça, c'est vrai si et seulement si TOUTES les probabilités de toutes les valeurs sont égales et non nulles... Mais ça, vu qu'on est sur un ensemble infinie de valeurs possible pour X, ce n'est tout simplement pas possible (il est impossible qu'une infinités de valeurs égales somment à 1...)

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Simboubou dit:Dans l'ignorance des probabilité réelles, comment pourrait-on calculer les probabilités de tomber sur N/2 ou 2N dans l'autre enveloppe ?

Les probabiblités, je pensais les avoir dévoilées en affirmant qu'une enveloppe contient le double de l'autre. Ceci sous-entendait que les 2 enveloppes sont indissociables l'une de l'autre dans leur apparence, leur poids, etc...
En tirant le raisonnement vers l'absurde, ton affirmation sur l'ignorance des probabilités est aussi valable pour une pièce de monnaie dont on s'accorde pourtant à penser qu'il existe une chance sur deux qu'elle tombe sur face. On fait par exemple abstraction de l'éventuelle différence de surface entre les 2 côtés de la pièce car ces éléments sont infiniment petits, donc dérisoires quand on a un peu de bonne foi et de bon sens.
Par analogie, l'ignorance des probabilités est présente pour les dés, les boules du lotto dont certaines tombent plus souvent que les autres, etc... Et nous voici bien avancés ! Alors, malgré l'ignorance des probabilités que tu avances, quand tu es face au choix d'éventuellement prendre la seconde enveloppe, penses-tu (par intuition) que N/2 a 90% de chance d'être vrai, ou toute autre option biscornue, ou te rapproches-tu du 50/50 ?
Simboubou dit:Allons un peu plus loin, maintenant : quand tu dit "Quelque soit la valeur de l'enveloppe que j'ouvre, j'aurai intérêt à ouvrir l'autre".
Ça, c'est vrai si et seulement si TOUTES les probabilités de toutes les valeurs sont égales et non nulles... Mais ça, vu qu'on est sur un ensemble infinie de valeurs possible pour X, ce n'est tout simplement pas possible (il est impossible qu'une infinités de valeurs égales somment à 1...)


A partir du moment où la première enveloppe est ouverte, on devrait pouvoir restreindre le champ des possibles pour la valeur de X puisqu'on en connait désormais la valeur, non ? :wink:

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J'ai une question: quand vous parlez de bayes, ça n'a rien à voir avec l'actrice, c'est bien ça ?

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Quelle est la probabilité que la question de Kalkaoual soit sérieuse ? :wink:

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Non, tu confond plusieurs choses différentes.

Quand j'ai une pièce de monnaie, et que l'on ne me dit rien de spéciale, je considère qu'il y a une chance sur deux de faire pile et une chance sur deux de faire face. Et quand je lance la pièce, je peut regarder sur quel coté elle tombe. Je connais la loi de probabilité de la pièce.

Tu n'as pas dévoilé les probabilités des enveloppes en disant que l'une contient le double de l'autre. Tout ce que tu a fait, c'est dire que les deux variables aléatoires correspondant aux contenus des deux enveloppes ne sont pas indépendantes.
Mais on ne connais pas les contenues des enveloppes, ni même seulement la loi de probabilité suivi par ces contenus.

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Tu as raison, dans une enveloppe, il y a un billet de 10 euros et dans l'autre, il y a 5 pièces de 1 euro. Cela change tout et mon exposé tombe à l'eau. J'ai beau avoir parlé d'intuition, de bon sens et de bonne foi, les enveloppes ont beau être identiques, il y a effectivement une différence de poids dont on peut se rendre facilement compte.

Merci d'avoir répondu concernant ton estimation pour laquelle je continue à prétendre qu'elle tend vers 50/50. Bizarre après tant de méconnaissance sur les probabilités, non ?

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Ah bah non, n’abandonne pas ! Cette énigme n'en est pas vraiment une : c'est un exemple d'intuition erronée en probabilité, est c'est assez coton de comprendre pourquoi !
En essayant d'éclairer ta lanterne, je comprend de mieux en mieux le problème moi aussi. Je te jure qu'on va y arriver !

Docky dit:Merci d'avoir répondu concernant ton estimation pour laquelle je continue à prétendre qu'elle tend vers 50/50. Bizarre après tant de méconnaissance sur les probabilités, non ?


Quelle estimation tendrait vers 50/50 ? Je ne te suis pas...

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Je te jure qu'on va y arriver ? A quoi ? Eclairer ma lanterne, ou la tienne ? :wink: En attendant, tu me facilites le travail avec une grande probabilité que je fasse du copier-coller. Tiens, paf ! Qu'es-ce que je disais à l'instant ?

Docky dit:Merci d'avoir répondu concernant ton estimation pour laquelle je continue à prétendre qu'elle tend vers 50/50. Bizarre après tant de méconnaissance sur les probabilités, non ?


J'évoque évidemment une fois la première enveloppe ouverte ton estimation sur le fait que la seconde enveloppe contient N/2, et pas 2N. Si tu n'en as aucune connaissance, si les enveloppes blablabla, dans ce cas blablabla, alors on devrait approcher des 50/50...

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Je te sens aigri... C'est dommage, parce que c'est vraiment intéressant, comme problème.

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Ce n'est pas une réponse à la question que j'avais posée et qui correspond à cela :

Alors, malgré l'ignorance des probabilités que tu avances, quand tu es face au choix d'éventuellement prendre la seconde enveloppe, penses-tu (par intuition) que N/2 a 90% de chance d'être vrai, ou toute autre option biscornue, ou te rapproches-tu du 50/50 ?

Et j'avais demandé précédemment, ce qui n'est pas bien différent :

Et retournons le problème. Si les options n'étaient soit-disant pas équiprobables, ce à quoi je ne peux toujours pas me résoudre, alors on aurait une grande chance de pouvoir estimer selon le montant N si la seconde enveloppe contient N/2 ou 2N. Je vous demande donc comment peut-on cela, selon mon énoncé et mes explications ?

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Docky dit:Ce n'est pas une réponse à la question que j'avais posée et qui correspond à cela :
Alors, malgré l'ignorance des probabilités que tu avances, quand tu es face au choix d'éventuellement prendre la seconde enveloppe, penses-tu (par intuition) que N/2 a 90% de chance d'être vrai, ou toute autre option biscornue, ou te rapproches-tu du 50/50 ?


Je ne peut pas répondre. Je n'ai rigoureusement aucun moyen de le savoir. La probabilité de N/2 peut être 0 ou peut être 1. Je ne peux rien savoir car je ne connais pas la loi de X.
Mon instinct me dit donc : je ne sais pas. Je ne sais rien, et donc je peux bien prendre cette enveloppe ou l'autre, c'est pareil, j'aurai la même espérance.

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C'est sûrement une mauvaise blague... As-tu lu mon énoncé ? M'as-tu bien lu depuis, avec toutes les spécifications et les précisions que cela a engendré ?

Avec tout cela, tu affirmes qu'après ouverture de la première enveloppe la probabilité pour N/2 dans la seconde enveloppe peut être 0 ou 1 ? Je t'accorde le mérite d'avoir enfin répondu à ma question, et te souhaite une excellente nuit.

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Lorsque tu lances une pièce symétrique, tu peux penser qu'il y a une chance sur deux qu'elle tombe sur Face et une chance sur deux pour qu'elle tombe sur Pile. Le sens de ce 1 chance sur 2 est que, à long terme, la fréquence de Pile devrait se rapprocher de 50%.
Pour vérifier cette modélisation, tu peux procéder à un grand nombre de lancers de ta pièce afin de confirmer/infirmer ton hypothèse. Evidemment, en vrai la pièce ne sera pas parfaitement symétrique, et les valeurs des probabilités seront différentes de 50%/50%. Cependant, elles seront sûrement assez proches pour que la modélisation 50%/50% soit acceptable.

C'est une situation classique d'équiprobabilité, tout comme un lancer de dé équilibré, un tirage de loto, etc...
A chaque fois, l'équiprobabilité est justifiée (symétrie des solides lancés, boules identiques...) et peut au besoin être vérifiée expérimentalement en procédant à des séries répétées de l'expérience aléatoire.

Pour ce qui est du problème des enveloppes, on ne se trouve nullement dans ce cas. On ne sait rien du protocole employé pour décider du montant des deux enveloppes. De ce fait, aucune modélisation n'est a priori justifiable, et l'on ne peut affirmer qu'il y a équiprobabilité entre les issues "la deuxième enveloppe contient 50€" et "la deuxième enveloppe contient 200€". Je vais même aller plus loin, pour parler de probabilité, il faut qu'il y ait une expérience aléatoire bien définie. Quelle est l'expérience aléatoire ici ? En fait, il n'y a même pas lieu de parler de la probabilité que "la deuxième enveloppe contienne 200€".

Simbobou, cela explique au passage pourquoi ton histoire de seuil ne marche pas, en tout cas pourquoi tu ne peux pas écrire une phrase du genre "avec ma méthode, la probabilité de gagner est supérieure à 50%".

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titoufred dit:
Simbobou, cela explique au passage pourquoi ton histoire de seuil ne marche pas, en tout cas pourquoi tu ne peux pas écrire une phrase du genre "avec ma méthode, la probabilité de gagner est supérieure à 50%".


Il faut que je m'exprime bien : avec ma méthode, quelque soit la loi de X, mon espérance de gain est au moins égale à 1.5*(l’espérance de X), il me semble. Ce qui n'est pas tout à fait la même chose. (Je me place dans le cas où une enveloppe contient X et l'autre 2X).

Docky, j'ai bien suivi le topic, je suis bien ce que tu a dit, et je pense bien voir où tu te trompe, (moi aussi je me suis trompé au début), et je vois bien pourquoi tu t'accroche. Reste avec nous, il faut réussir. :pouicok:

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titoufred dit:Pour vérifier cette modélisation, tu peux procéder à un grand nombre de lancers de ta pièce afin de confirmer/infirmer ton hypothèse. Evidemment, en vrai la pièce ne sera pas parfaitement symétrique, et les valeurs des probabilités seront différentes de 50%/50%. Cependant, elles seront sûrement assez proches pour que la modélisation 50%/50% soit acceptable.


Je connais ces démonstrations empiriques. J'ai essayé dernièrement d'expliquer à mon jeune fils le coup du 50/50 pour une pièce de monnaie. Je m'en suis mordu les doigts et il m'a fallu 10 minutes pour obtenir des résultats approchant de 50/50, car les premiers jets étaient en grande majorité sur face, tendance qui ne s'est estompée qu'après de nombreux jets.

Et je vous propose l'expérience suivante :

prenez une personne qui vous prépare deux enveloppes en secret, l'une contenant un papier avec une somme écrite dessus, et l'autre contenant un papier avec la moitié de cette somme écrite dessus. Mélangez les enveloppes pour ne plus savoir à quelles sommes elles correspondent. Prenez ensuite une enveloppe de votre choix, découvrez la somme à l'intérieur et notez la sur une grande feuille dans une colonne -. Ouvrez l'enveloppe suivante, découvrez la somme à l'intérieur et notez la sur la même grande feuille dans une colonne +. Répétez cette opération une centaine de fois. Je sais, c'est du gaspillage, mais c'est pour la bonne cause, pour la science. Ensuite, aditionnez chacune de leur côté la colonne - et la colonne +. Quels sont vos résultats réciproques ? Merci d'avance.

Petit apparté : Une expérience aléatoire est un processus dont le résultat est incertain. Le tirage au hasard d'un élément dans un ensemble en est un exemple. Ah, oui, on en est loin...

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Docky dit:
titoufred dit:Pour vérifier cette modélisation, tu peux procéder à un grand nombre de lancers de ta pièce afin de confirmer/infirmer ton hypothèse. Evidemment, en vrai la pièce ne sera pas parfaitement symétrique, et les valeurs des probabilités seront différentes de 50%/50%. Cependant, elles seront sûrement assez proches pour que la modélisation 50%/50% soit acceptable.

Je connais ces démonstrations empiriques. J'ai essayé dernièrement d'expliquer à mon jeune fils le coup du 50/50 pour une pièce de monnaie. Je m'en suis mordu les doigts et il m'a fallu 10 minutes pour obtenir des résultats approchant de 50/50, car les premiers jets étaient en grande majorité sur face, tendance qui ne s'est estompée qu'après de nombreux jets.
Et je vous propose l'expérience suivante :
prenez une personne qui vous prépare deux enveloppes en secret, l'une contenant un papier avec une somme écrite dessus, et l'autre contenant un papier avec la moitié de cette somme écrite dessus. Mélangez les enveloppes pour ne plus savoir à quelles sommes elles correspondent. Prenez ensuite une enveloppe de votre choix, découvrez la somme à l'intérieur et notez la sur une grande feuille dans une colonne -. Ouvrez l'enveloppe suivante, découvrez la somme à l'intérieur et notez la sur la même grande feuille dans une colonne +. Répétez cette opération une centaine de fois. Je sais, c'est du gaspillage, mais c'est pour la bonne cause, pour la science. Ensuite, aditionnez chacune de leur côté la colonne - et la colonne +. Quels sont vos résultats réciproques ? Merci d'avance.

Est ce que l'opérateur réécris dans les enveloppes à chaque fois ?
Tiens, je tente une autre version :
Docky dit:Si la première enveloppe contient 100 euros, les chances d'avoir dans la seconde enveloppe 50 euros ou 200 euros sont équiprobables que ce soit un RMIste ou Bill Gates qui te l'a tendue, puisque mon problème est posé en tant que tel...

titoufred dit:Docky, où est-il précisé qu'il y a autant de chances que les deux enveloppes contiennent (50€/100€) que (100€/200€) ?

Docky dit:Excuse-moi. J'avais omis de préciser que si la première enveloppe contient 100 €, il y a 99% de chances pour que la seconde contienne 50 € et 1% de chances pour qu'elle contienne 200 €. Mais cela va de soi et me paraissait tellement logique ! Tu as donc parfaitement raison...


Docky, ta réponse ici est ironique, et tu veux sans doute dire qu'il a autant de chance d'avoir les sommes (50/100) et (100/200)
Admettons. En sachant ça, quand tu ouvre la première enveloppe et que tu trouve 100€ (comme dit quelques messages avant cet échange), tu a effectivement une chance sur deux que l'autre enveloppe contiennt 50, et une sur deux qu'elle contienne 200. Et donc, il faut changer. Oui.

Mais si tu avait ouvert 60€, tu aurais dit quoi ? "Il y a autant de chances que le banquier ait
selectionné 60/120 et 30/60".
Admettons. Et là encore, ton raisonnement du une chance sur deux marche, et il faut changer d'enveloppe.



Et là, tu va sans doute dire "Je ne peux pas tout préciser ! Implicitement, il est évident que l'on considère que toutes les répartions X/2X sont équiprobables. De la même façon, sans info sur une pièce de monnaie, on considère qu'elle est équiprobable".

Et c'est LA que tu te trompe. IL EST IMPOSSIBLE QUE TOUTES LES REPARTIONS X/2X IMAGINABLES SOIENT EQUIPROBABLES.
Pourquoi ?
Parceque dans ce cas, soit p la probabilité de n'importe quel X/2X (p est donc constant, puisqu'on est dans l'équiprobable).
Or, il y a une infinité de répartions possibles. Et comme toute ces répartitions corresponde à des événement disjoint, la probabilité de l'union des répartition serait donc égale à p+p+p+p+p+p.... à l'infini.
Le problème, c'est que cette somme ne converge pas vers 1, comme il le faudrait pour avoir une loi de probabilité. Cette somme diverge, vers l'infini.

Il est tout de même possible de trouver des lois de probabilités sur des ensembles infinis dénombrables. Mais ces lois ne seront pas uniformes.

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Selon toi, Docky, que va-t-on trouver pour les colonnes - et + ?
Des résultats comparables ou nettement différents ?

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Simboubou, tu t'égares...
N'oublie pas que l'on peut modéliser certains problèmes par des lois de probabilité continues. Par exemple, la loi équirépartie sur l'intervalle [0;1] est définie par P(X < a) = a.

D'autre part, ce n'est pas parce qu'une quantité nous est inconnue qu'elle suit une quelconque loi de probabilité. C'est un leurre. Allez, je balance un gros pavé : la théorie des probabilités ne peut tout simplement pas s'appliquer à cette énigme.