[double post]
genji dit:Oui, sauf que tu as choisi un exemple pathologique où tu ne tires que des 9, ce qui ne te donne qu'une borne inférieure et pas de borne supérieure. Hormis ce cas pathologique (qui a une probabilité de 10^{-k} si tu fais k tirages), tu obtiens un intervalle borné et il n'y a donc pas de problème de nombre trop grand ou trop petit.
Mais si les enveloppes contiennent de grandes sommes, ce sont bien les cas pathologiques (comme tu dis) de tirages qui te permettent d'améliorer ta proba de gagner non ?
Admettons que les enveloppes contiennent 4 et 8. Alors, il faut faire un tirage y supérieur à 0,999967 sur [0;1] pour obtenir un tirage x compris entre 4 et 8 qui te permette de gagner à coup sûr.
Admettons maintenant que les enveloppes contiennent 1 et 2 Millions.
Saurais-tu quels types de tirages pour y sur [0;1] il faut faire pour obtenir x compris entre 1 et 2 millions ?
Et si les enveloppes contiennent 10^100 et 2*10^100 ?
titoufred dit:
Admettons maintenant que les enveloppes contiennent 1 et 2 Millions.
Saurais-tu quels types de tirages pour y sur [0;1] il faut faire pour obtenir x compris entre 1 et 2 millions ?
Et si les enveloppes contiennent 10^100 et 2*10^100 ?
Si je peux me permettre, je crois qu'on est plus d'accord que ce qu'il paraît mais qu'on ne parle tout simplement pas de la même chose.
Il y a deux questions:
- avec ma façon de choisir un seuil, au bout de combien de tirages a-t-on une politique définie (c'est-à-dire que l'on sait précisément s'il faut garder ou changer l'enveloppe, ou que l'incertitude est mineure) ?
- selon les nombres qui sont tirés, comment choisir la distribution du seuil (Madore parle d'une Gaussienne mais on peut tout aussi bien choisir une Laplace ou même une distribution sur les entiers) ?
A la première question, je réponds que le temps est très court. Tu rétorques que, dans le cas de montant très élevés, la procédure ne me donnera un seuil valable qu'avec un très grand nombre de tirages. C'est là qu'il y a confusion. Je vais essayer de résumer les cas:
- les montants tirés sont faibles et je tire mon seuil de N(0, 1) -> tout va bien
- les montants tirés sont très élevés et je tire mon seuil de N(0, 1) -> je vais vite obtenir un seuil, mais qui sera complètement inutile puisque bien inférieur aux montants des enveloppes (et je choisirai donc tout le temps de garder l'enveloppe).
Mais il est faux de dire: "ta stratégie de tirage est mauvaise car, pour obtenir un seuil utile, il te faudra plein de tirages". Il est beaucoup plus juste de dire "ton seuil a une infime probabilité d'être utile ET, pour qu'il le soit, il faudrait un très grand nombre de tirages". Le problème n'est donc pas dans la manière de tirer de N(0, 1) mais bien dans le choix de cette distribution.
Ainsi, je peux aussi décider de tirer de N(10^6, 5*10^5) et, dans ce cas, aucun des problèmes sus-mentionnés n'apparaît. Le gain moyen de cette stratégie est déterminé par le choix du seuil qui lui est déterminé par la distribution dont on tire le seuil.
J'ai l'impression d'être super confus dans mes explications
Comme tu le dis toi-même Genji, le protocole que tu as donné (en te basant sur le faux-protocole de Madore) permet d’augmenter ta proba de gagner pour certains montants donnés. Mais pas pour tous les montants possibles. C’est la même chose qu’avec la méthode donnée par Simboubou, qui propose de fixer un seuil arbitraire à 100€ : sa méthode marche si la bonne enveloppe contient un montant compris entre 100€ et 200€, mais ne marche pas sinon (désolé Simboubou, j’avais oublié de te répondre là-dessus).
Je réitère donc mes critiques contre les affirmations de Madore, selon lequel “il existe une façon pour le joueur de faire son choix qui lui assure d’avoir raison avec une probabilité strictement supérieure à 1/2” ou encore “quels que soient les montants t et 2t contenus dans les enveloppes, le candidat peut s’assurer une espérance de gain meilleure que 3t/2”
Je pense qu’on ne peut pas faire de telles affirmations.
titoufred dit:
Je réitère donc mes critiques contre les affirmations de Madore, selon lequel "il existe une façon pour le joueur de faire son choix qui lui assure d'avoir raison avec une probabilité strictement supérieure à 1/2" ou encore "quels que soient les montants t et 2t contenus dans les enveloppes, le candidat peut s'assurer une espérance de gain meilleure que 3t/2"
Je pense qu'on ne peut pas faire de telles affirmations.
Sauf en faisant la supposition supplémentaire que, pour tout x, il existe une probabilité non nulle que le montant de l'enveloppe t soit compris entre x/2 et x. Dans ce cas-là, l'espérance de gain (en prenant aussi l'espérance sur t) est strictement supérieure à celle obtenue en choisissant les enveloppes selon une uniforme.
Qui ne dit rien consent, alors je me lance… 
YoshiRyu dit:Si dans le cadre d’un vrai jeu, avec du véritable argent qui passera réellement de la poche des organisateur à la mienne, j’ouvre une des deux enveloppes et que q’y vois un montant X, je me dis qu’il est plus probable que les organisateurs aient mis X et 2X en jeu que X et X/2.
Pour reprendre tes propos, nous sommes en période de crise et l’argent ne pousse pas sur les arbres. Donc, je peux supposer que la générosité des organisateurs est limitée. On tombe alors plutôt dans la situation où X et X/2 est plus probable, ce qui freine les ardeurs. Quand quelqu’un trouve X dans la première enveloppe, il aura peut-être une attitude posée et sécurisante du style : je préfère ne pas trop risquer et me contenter de ce que je viens de recevoir.
YoshiRyu dit:Donc en situation réelle, malgrès les maths, il est peut-être plus sage de conserver la première enveloppe, si le montant est suffisemment gros pour se dire que jamais ils n’auraient mis une enveloppe deux fois plus grosse que celle là
C’est aussi mon avis, sauf que ton chemin nous menant à ce résultat commun ne correspondait apparemment pas au mien. Voilà. Rien de plus, rien de moins…
genji dit:Sauf en faisant la supposition supplémentaire que, pour tout x, il existe une probabilité non nulle que le montant de l'enveloppe t soit compris entre x/2 et x. Dans ce cas-là, l'espérance de gain (en prenant aussi l'espérance sur t) est strictement supérieure à celle obtenue en choisissant les enveloppes selon une uniforme.
Tout à fait d'accord avec toi, il faut faire une hypothèse supplémentaire sur les répartitions possibles des montants des enveloppes en les considérant comme le résultat d'une certaine expérience aléatoire. Il faut alors expliciter cette expérience aléatoire et la modéliser, faute de quoi, on ne peut pas employer des termes tels que "probabilité" ou "espérance de gain". Cela n'est pas directement possible avec l'énoncé original du paradoxe.
@Docky :
Ma reflexion est simplement qu’on peut tenir compte de la composante humaine, à savoir intégrer le fait que quelqu’un doit payer cet argent et qu’il sera donc plus enclin à mettre “moins” que “plus”.
Personnellement, dans un tel jeu, si en ouvrant la premier enveloppe, je tombe sur un montant d’un milion, je vais me dire qu’il n’y a presque aucune chance qu’il aient mis plus que ça dans l’autre enveloppe
EDIT : et donc là je viens de lire ton dernier message et comment dire… faudrait vraiment que j’apprenne à lire tous le sujet avant de répondre XD