Au départ, je critique cette affirmation de Madore : "Le candidat peut tout de même s’assurer une espérance de gain meilleure que 3t/2, en choisissant l’autre enveloppe lorsque l’enveloppe qu’il ouvre renferme une somme inférieure à x0, où x0 est un réel qu’il a préalablement tiré au hasard. "
Je pense que ceci est faux. J’ai plusieurs arguments contre.
Tout d’abord, j’ai critiqué son protocole (trop théorique) sur cette phrase “Le second joueur emploie alors la méthode suivante : il tire au hasard un nombre réel x0 suivant une loi, disons, Gaussienne (la seule condition étant que x0 a une probabilité strictement positive de se trouver dans un intervalle non trivial donné quelconque)”
J’ai dit que cette phrase n’avait pas de sens.
Suite à quoi, Genji a donné une traduction pratique du protocole. Je rétorque cependant que pour certains nombres, son protocole ne permettra pas d’améliorer la proba de 1/2, sauf si la réponse est obtenue après plus de 100 ans d’attente. En quoi ça me gêne ? Ca ne te paraît pas un peu long 100 ans pour décider si oui ou non tu dois changer d’enveloppe ?
Jeremie dit: Un truc qui m’avait parut incroyable étant jeune c’est que des évènement de probabilité nulle arrivent. Ex: je fais un tirage selon un loi normale N(0,1) et j’obtiens un réel x. Quelle était ma proba de tirer ce x ?
Là encore, comme pour Madore, il y a un truc qui ne va pas dans ce que tu dis. Vois-tu ce que c’est ?
titoufred dit: Suite à quoi, Genji a donné une traduction pratique du protocole. Je rétorque cependant que pour certains nombres, son protocole ne permettra pas d'améliorer la proba de 1/2, sauf si la réponse est obtenue après plus de 100 ans d'attente. En quoi ça me gêne ? Ca ne te paraît pas un peu long 100 ans pour décider si oui ou non tu dois changer d'enveloppe ?
Je le redis puisqu'apparemment tu sembles avoir raté mon message: augmenter le nombre de tirages de la pièce augmente la précision du seuil, pas sa valeur absolue. Avec un seul lancer de pièce, je peux classer avec certitude des enveloppes dont le contenu est 10^100 ou 10^{-100}. Celles que je ne peux pas classer avec certitude sont celles dont le montant est extrêmement proche de mon seuil. Dans ce cas, deux solutions s'offrent à moi: - j'augmente le nombre de tirages de ma pièce pour augmenter la précision de mon seuil - je considère que, si mon seuil est bon à epsilon près, alors la différence d'espérance de gain entre les décisions de changer d'enveloppe ou non n'est pas importante (puisque celle-là dépend de manière déterministe d'epsilon et décroît avec lui).
Il n'y a donc pas d'histoire d'attendre 100 ans en pratique. Je peux te parier qu'après 100 tirages de pièce pour avoir une approximation du seuil, j'obtiens une espérance de gain qui se rapproche de celle théorique à .0001% près (oui, ces chiffres sont lancés complètement au hasard).
titoufred dit:Jeremie, sur quoi est-on en train de débattre ? Au départ, je critique cette affirmation de Madore : "Le candidat peut tout de même s'assurer une espérance de gain meilleure que 3t/2, en choisissant l'autre enveloppe lorsque l'enveloppe qu'il ouvre renferme une somme inférieure à x0, où x0 est un réel qu'il a préalablement tiré au hasard. " Je pense que ceci est faux. J'ai plusieurs arguments contre. Tout d'abord, j'ai critiqué son protocole (trop théorique) sur cette phrase "Le second joueur emploie alors la méthode suivante : il tire au hasard un nombre réel x0 suivant une loi, disons, Gaussienne (la seule condition étant que x0 a une probabilité strictement positive de se trouver dans un intervalle non trivial donné quelconque)" J'ai dit que cette phrase n'avait pas de sens.
C'est pour cela que je demande si tu as des connaissances de théorie de la mesure.
Suite à quoi, Genji a donné une traduction pratique du protocole. Je rétorque cependant que pour certains nombres, son protocole ne permettra pas d'améliorer la proba de 1/2, sauf si la réponse est obtenue après plus de 100 ans d'attente. En quoi ça me gêne ? Ca ne te paraît pas un peu long 100 ans pour décider si oui ou non tu dois changer d'enveloppe ?
Non car il faudra de toutes façons attendre un temps fini. Je signale aussi que si tu veux être terre à terre, l'orde de grandeur de ces grands nombres posant problèmes sont très supérieurs aux nombres d'atomes dans l'univers...
Jeremie dit: Un truc qui m'avait parut incroyable étant jeune c'est que des évènement de probabilité nulle arrivent. Ex: je fais un tirage selon un loi normale N(0,1) et j’obtiens un réel x. Quelle était ma proba de tirer ce x ?
Là encore, comme pour Madore, il y a un truc qui ne va pas dans ce que tu dis. Vois-tu ce que c'est ?
Mais tout va bien dans ce que je dis. Si je peux tirer ce x alors la proba de l'obtenir était nulle et c'est arrivé. En math cela donne naissance à des assertions que l'on qualifie de 'presque sures' cad vraies sauf sur un ensemble de mesure nulle.
Je pense que tu aimes raisonner dans des cas discrets, le continu c'est spécial et c'est à la fois plus dur et plus simple, mais on ne peut pas juste dire que cela n'existe pas car 'trop théorique'.
Jeremie dit:Un truc qui m'avait parut incroyable étant jeune c'est que des évènement de probabilité nulle arrivent. Ex: je fais un tirage selon un loi normale N(0,1) et j’obtiens un réel x. Quelle était ma proba de tirer ce x ?
Non mais "je fais un tirage selon une loi normale N(0,1) et j'obtiens un réel x" ça n'existe pas en tant que tel : tu fais une approximation discrète. A partir de là, ta proba d'obtenir ce x n'était pas nulle.
Ah on y vient, ce tu refuses ce sont les tirages sur des espace de probabilités de cardinal infini.
Mathématiquement on peut définir des probas sur un espace omega muni d’une tribu et d’une mesure P telle que P(omega)=1
Pour une loi N(0,1) le fait que P(X=1) = 0 n’est pas un problème. Effectivement P(X \in [0;0.001] ) est lui non nul et c’est pour cela que tu parles de discrétisation.
Après tu peux t’amuser à construire une théorie des probas discrètes mais si tu poses les 3 axiomes sur ta définition de P ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de … lit%C3%A9s ) alors autant construire la théorie de manière plus large.
Avec ton argument on pourrait dire que les nombres non rationnels n’existent pas car on ne peut pas vraiment en observer un ( racine de 2 embêtait bien les grecs visiblement)
Bon allez s’il te plaît, explique-moi comment “je fais un tirage selon un loi normale N(0,1) et j’obtiens un réel x.” Ou une loi uniforme sur [0;1], si c’est plus simple.
Mais en pratique tu ne le fais pas, tu es en train de manipuler un objet mathématique… Reste que les raisonnements effectués dessus sont valables et permettent parfois de retomber sur des cas que tu qualifieras de réels.
Tu rejettes le principe de génération à partir d’une pièce en disant “c’est trop long” arbitrairement. Mais on peut quand même atteindre une précision arbitraire avec. Et puis en pratique on peut à générer des nombres aléatoirement avec une précision de disons 10^-200 en une fraction de seconde.
Après si tu refuses tout, on est même pas sur que le monde ne soit pas purement déterministe sans possibilité de générer du hasard du tout (ca paraît peu probable pour les évènements quantiques mais on est pas certain). Même pour un lancer de pièce/dé, le résultat dépend de manière chaotique du mouvement initial donc on se dit que c’est aléatoire mais ce n’est peut-être pas vrai.
Globalement, il faut juste garder à l’esprit que la modélisation mathématique (probabiliste ou autre) d’une situation réelle reste un modèle et rien d’autre. Les corps ne s’attirent pas en raison inverse du carré de leur distance, l’évolution de l’état des particules n’est pas régie par l’équation de Schrödinger, et E n’est pas égal à mc²… Sauf qu’avec des modèles, on arrive à mieux comprendre la réalité, à expliquer et à prédire certains phénomènes.
Donc, les objections de titoufred sont fondées (on ne peut pas concrètement choisir un nombre réel de quelque manière que ce soit) mais si on s’y arrête, on ne fait plus de science du tout.
grolapinos dit: on ne peut pas concrètement choisir un nombre réel de quelque manière que ce soit
Avec un ordinateur. Si je lance à toute force une balle rebondissante dans une boîte à fond carré et que je regarde où elle s'arrête, j'ai bien un tirage d'une distribution uniforme dans [0,1]^2.
grolapinos dit: on ne peut pas concrètement choisir un nombre réel de quelque manière que ce soit
Avec un ordinateur. Si je lance à toute force une balle rebondissante dans une boîte à fond carré et que je regarde où elle s'arrête, j'ai bien un tirage d'une distribution uniforme dans [0,1]^2.
Ça reste théorique. D'abord, tu n'as pas d'aléatoire selon les lois de la physique (la trajectoire est déterministe bien que chaotique). C'est nous (humains, avec nos sens et notre perception du réel) qui modélisons le résultat par une variable aléatoire (note que comme c'est nous aussi qui utilisons un modèle déterministe pour la trajectoire de la balle... bref).
Ensuite, à quelle précision peux-tu repérer la position finale, sachant que ta balle n'est pas ponctuelle, que tes instruments de mesure sont limités, et que ta boîte n'est de toute façon pas carrée ?
Quant à l'ordinateur, il n'a pas plus de capacité à mesurer l'infini que nous...
Bref, non, je me répète, on ne peut pas concrètement choisir un nombre réel, et ça n'a absolument aucune importance, puisqu'encore une fois, il s'agit de modéliser une situation réelle pour en faire une ébauche exploitable même si inexacte.
grolapinos dit: on ne peut pas concrètement choisir un nombre réel de quelque manière que ce soit
Avec un ordinateur. Si je lance à toute force une balle rebondissante dans une boîte à fond carré et que je regarde où elle s'arrête, j'ai bien un tirage d'une distribution uniforme dans [0,1]^2.
Tu regarde où elle s'arrête ? Mais alors tu est limité par la précision de ta mesure, non ?
Bin non… Et même pour une binomiale on est pas si certain d’être capable d’avoir des résultats qui soient réellement des réalisations de variables aléatoires, peut être juste une observation de phénomènes chaotiques (dépendant fortement des conditions initiales qui sont elles inconnues).
Mais ce qui est beau c’est que les maths peuvent exister en dehors du monde réel et être juste quand même. Il y a une citation attribuée à Einstein la dessus : ‘Ce qui est incompréhensible, c’est que le monde soit compréhensible’
Genji, je ne suis pas sûr d’avoir compris ton protocole.
Admettons que tu ouvres la première enveloppe et tu trouves écrit 4€.
Tu effectues alors ton “tirage à précision progressive” d’un nombre x suivant une loi N(0,1). Tu ne connaîtras jamais x, mais des encadrements de plus en plus précis de x, jusqu’à ce que tu puisses déterminer si x est supérieur ou inférieur à 4.
En fait tu fais un tirage d’un nombre y suivant une loi uniforme sur [0;1] puis après tu appliques f l’inverse de la cumulative gaussienne. Le tirage d’un nombre sur [0;1] se fait décimale par décimale jusqu’à ce que la précision nécessaire soit atteinte.
Tu tires donc une première décimale (on va faire en système décimal je pense que c’est plus simple) : admettons que tu trouves 9. Ce qui te donne que 0,9<=y<1 et donc f(0,9)<=x<f(1) ie environ 1,28<=x<+inf.
Ce n’est pas assez précis. Il faut tirer une deuxième décimale. Toute autre décimale aurait arrêté le tirage et tu aurais conclu qu’il ne faut pas changer d’enveloppe.
Admettons que tires également 9 pour la deuxième décimale. Ce qui te donne 0,99<=y<1 et donc environ 2,32<=x<+inf. Ce n’est pas assez précis. Il faut tirer une troisième décimale. Admettons que tires également 9 pour la troisième décimale. Ce qui te donne 0,999<=y<1 et donc environ 3,09<=x<+inf. Ce n’est pas assez précis. Il faut tirer une quatrième décimale. Admettons que tires également 9 pour la quatrième décimale. Ce qui te donne 0,9999<=y<1 et donc environ 3,71<=x<+inf. Ce n’est pas assez précis. Il faut tirer une cinquième décimale. Admettons que tires également 9 pour la cinquième décimale. Ce qui te donne 0,99999<=y<1 et donc environ 4,26<=x<+inf.
L’encadrement est assez précis pour conclure que x>4 donc tu changes d’enveloppe.
Ben moi j’ajoute une autre composante dans le problème : l’argent c’est pas gratuit !
D’un point de vu matériel, toute valeur est moins problable qu’une valeur plus grande, parcequ’on parle ici de donner de l’argent à un mec qui a ouvert une enveloppe.
Aussi, une fois que j’ai ouvert une première enveloppe avec un montant X, j’estime qu’il y a moins de chance que l’autre enveloppe contiennent 2X que X/2, surtout que c’est la crise mon bon monsieur
YoshiRyu dit:D'un point de vu matériel, toute valeur est moins problable qu'une valeur plus grande, parcequ'on parle ici de donner de l'argent à un mec qui a ouvert une enveloppe.
D'un point de vue matériel, toute valeur est plus probable qu'une valeur plus grande, non ? Tant qu'à jouer sur les détails...
titoufred dit: Ce n'est pas assez précis. Il faut tirer une cinquième décimale. Admettons que tires également 9 pour la cinquième décimale. Ce qui te donne 0,99999<=y<1 et donc environ 4,26<=x<+inf. L'encadrement est assez précis pour conclure que x>4 donc tu changes d'enveloppe. Est-ce que c'est bien ça ?
Oui, sauf que tu as choisi un exemple pathologique où tu ne tires que des 9, ce qui ne te donne qu'une borne inférieure et pas de borne supérieure. Hormis ce cas pathologique (qui a une probabilité de 10^{-k} si tu fais k tirages), tu obtiens un intervalle borné et il n'y a donc pas de problème de nombre trop grand ou trop petit.
genji dit: Avec un ordinateur. Si je lance à toute force une balle rebondissante dans une boîte à fond carré et que je regarde où elle s'arrête, j'ai bien un tirage d'une distribution uniforme dans [0,1]^2.
Tu regarde où elle s'arrête ? Mais alors tu est limité par la précision de ta mesure, non ?
Tout à fait, j'ai été imprécis. Je peux tirer une quantité d'une distribution sur un ensemble continu (en l'occurrence, l'abscisse et l'ordonnée de la boule) mais je ne peux convertir cette quantité en nombres qu'avec une précision finie.
YoshiRyu dit:D'un point de vu matériel, toute valeur est moins problable qu'une valeur plus grande, parcequ'on parle ici de donner de l'argent à un mec qui a ouvert une enveloppe.
D'un point de vue matériel, toute valeur est plus probable qu'une valeur plus grande, non ? Tant qu'à jouer sur les détails...
Bah non, parceque l'argent ça ne pousse pas sur les arbres.
Si dans le cadre d'un vrai jeu, avec du véritable argent qui passera réellement de la poche des organisateur à la mienne, j'ouvre une des deux enveloppes et que q'y vois un montant X, je me dis qu'il est plus probable que les organisateurs aient mis X et 2X en jeu que X et X/2. Donc en situation réelle, malgrès les maths, il est peut-être plus sage de conserver la première enveloppe, si le montant est suffisemment gros pour se dire que jamais ils n'auraient mis une enveloppe deux fois plus grosse que celle là
Et ce n'est pas la peine de me parler sur un tel ton, merci.
YoshiRyu dit:D'un point de vu matériel, toute valeur est moins problable qu'une valeur plus grande, parcequ'on parle ici de donner de l'argent à un mec qui a ouvert une enveloppe.
D'un point de vue matériel, toute valeur est plus probable qu'une valeur plus grande, non ? Tant qu'à jouer sur les détails...
Bah non, parceque l'argent ça ne pousse pas sur les arbres. Si dans le cadre d'un vrai jeu, avec du véritable argent qui passera réellement de la poche des organisateur à la mienne, j'ouvre une des deux enveloppes et que q'y vois un montant X, je me dis qu'il est plus probable que les organisateurs aient mis X et 2X en jeu que X et X/2. Donc en situation réelle, malgrès les maths, il est peut-être plus sage de conserver la première enveloppe, si le montant est suffisemment gros pour se dire que jamais ils n'auraient mis une enveloppe deux fois plus grosse que celle là Et ce n'est pas la peine de me parler sur un tel ton, merci.
Cher interlocuteur,
Sauf votre respect, j'éprouve humblement un peu de difficulté à comprendre vos propos. Comment voulons-nous procéder ? Me permettez-vous de développer mon raisonnement qui ne doit en aucun cas constituer un affront à votre égard, mais seulement un mélange d'interrogation et de curiosité ? Ou voulons-nous en rester là, ce qui me chagrinerait dans la mesure où j'aime les échanges constructifs, même (ou à fortiori) quand ils font grandir au moins l'un des deux intervenants ?
Concernant mon ton, que je ne perçois en aucun cas comme déplacé, je me contenterai d'affirmer que le filtre que l'on adopte modifie souvent la perception que l'on a de son environnement. Cela est valable pour chacun de nous, je ne m'en exclue pas. Si vous m'accordez avec un état d'esprit positif l'honneur d'une relecture de ma prédente intervention, peut-être n'interpréterez-vous pas obligatoirement mon propos comme une critique, mais éventuellement aussi comme une auto-critique.
