Je mets ici une énigme trouvée sur le site prisedetete, et laissée sans réponse :
Soit ABC un triangle isocèle de sommet A,avec [BAC]=20°.
Soit D un point de [AB] tel que AD=BC. (voir figure)
Le but est de calculer l’angle [DCB] sans utiliser les fonctions sin,cos ou tan.
bonne réflexion!
vala, j’ai tourné un moment sans trouver de moyen efficece de me servir de l’égalité des deux longueurs, à vos feuilles de papier
Je tente :
Les longueurs AD et BC sont égales ? Oui, je viens de relire… C’est écrit…
Dans ce cas, DB = BC, DBC est isocèle, les angles (BDC) et (DCB) sont égaux et valent ( 180 - (DBC) )/2.
(DBC) = ( 180 - (CAB) )/2 = (180-20)/2 = 80
D’où (DCB) = (180-80)/2 = 50°
J’ai bon ?
Ma réponse, mais il y a quelque chose que je n’arrive pas prouver:
La somme des angles d’un triangles fait 180°. Donc les angles B et Du grand triangles font : (180-20)/2=80°
Le triangle ADC est isocele aussi (c’est ce que je n’arrive pas à prouver) AD=DC et les angles A et C1 sont égaux.
Donc l’angle C2 (celui qu’on cherche), C2=C-C1=80-20=60°
La réponse est 60°.
Lidou, qui fait de la géométrie à l’instinct
Lidou dit:Le triangle ADC est isocele aussi (c'est ce que je n'arrive pas à prouver)
Ca, je pense que c'est faux, parce que sinon le triangle DCB est isocèle aussi (DC = BC vu que DC = AD dans ton hypothèse et AD= BC par définition). Vu que d'après ton calcul, l'angle DCB = 60°, les 2 autres angles devraient faire 60° également et on aurait un triangle équilatéral. Or, on sait qur l'angle CBA = 80°.
Donc, ton hypothèse est fausse (j'étais parti sur la même), j'aurais tendance à croire Monsieur Aerth, mais il y a un donc qui me semble pas très justifié au milieu pour le moment.
Mais que fait Grolap ? Encore à trainer avec ses élèves ?
si AD=BC on a également BD=BC et donc BDC isocèle. Si l’angle BAC vaut 20° alors les autres angles valent 80°. Donc BCD = 50°
Aerth dit:Je tente :Les longueurs AD et BC sont égales ? Oui, je viens de relire... C'est écrit...
Dans ce cas, DB = BC, DBC est isocèle, les angles (BDC) et (DCB) sont égaux et valent ( 180 - (DBC) )/2.
(DBC) = ( 180 - (CAB) )/2 = (180-20)/2 = 80
D'où (DCB) = (180-80)/2 = 50°
J'ai bon ?
Dans ton raisonnement, cela voudrait dire que D est le milieu de AC, ce qui me semble faux
Molmo dit:si AD=BC on a également BD=BC
Pourquoi ?
A aucun moment, il n'est mentionné que D est le milieu de AB. Ou alors, c'est une propriété démontrée que j'aurais oublié due au fait que ABC soit isocèle avec un sommet à 20° ?
Du genre, AB = 2 BC ?
petezahh dit:Aerth dit:Je tente :Les longueurs AD et BC sont égales ? Oui, je viens de relire... C'est écrit...
Dans ce cas, DB = BC, DBC est isocèle, les angles (BDC) et (DCB) sont égaux et valent ( 180 - (DBC) )/2.
(DBC) = ( 180 - (CAB) )/2 = (180-20)/2 = 80
D'où (DCB) = (180-80)/2 = 50°
J'ai bon ?
Dans ton raisonnement, cela voudrait dire que D est le milieu de AC, ce qui me semble faux
Effectivement, D n'est pas le milieu de AC.
Par contre le milieu de AB, ça se défend
Molmo dit:si AD=BC on a également BD=BC et donc BDC isocèle. Si l'angle BAC vaut 20° alors les autres angles valent 80°. Donc BCD = 50°
Pareil que pour Aerth, D serait donc le milieu de AC, quel est l'élément qui permet de l'affirmer?
De plus, avec un dessin...
Molmo dit:D [...] le milieu de AB, ça se défend
Intuitivement ou mathématiquement ?
petezahh dit:Molmo dit:si AD=BC on a également BD=BC et donc BDC isocèle. Si l'angle BAC vaut 20° alors les autres angles valent 80°. Donc BCD = 50°
Pareil que pour Aerth, D serait donc le milieu de AC, quel est l'élément qui permet de l'affirmer?
De plus, avec un dessin...
ah oui exact, c'est complètement faux ce que je disais
En fait, j’ai pensé à faire intervenir E, qui est l’intersection de AC avec la parallèle à BC passant par D, ce qui permet d’utiliser un théorème de Thalès avec les deux longueurs égales de l’énoncé, mais je ne vois pas comment exploiter cette égalité par la suite, je pédale dans la choucroute…
petezahh dit:En fait, j'ai pensé à faire intervenir E, qui est l'intersection de AC avec la parallèle à BC passant par D, ce qui permet d'utiliser un théorème de Thalès avec les deux longueurs égales de l'énoncé, mais je ne vois pas comment exploiter cette égalité par la suite, je pédale dans la choucroute...
Tu construis la figure et tu mesures
Si ça peut aider, la réponse est 70°…
Du coup, je pense qu’il faut se faire un système d’équations…
BCD=180-CDB-DBC
BCD=180-CDB-80
BCD=100-CDB
CDB=180-CDA
CDA=180-BAC-ACD
CDA=180-20-ACD
CDA=160-ACD
ACD=80-BCD
En remontant, j’arrive à BCD = BCD, ce qui est un bon début, non ?
Ah!!!
Voila, des équations comme celle là, j’en ai plein… Tu te retrouves avec des A=A, et tu te sens bien con…
Je pense qu’il ne faut pas n’utiliser que des équatios d’angles, parce que dans ce cas, je ne vois pas où intevient l’égalité des longueurs à un moment où l’autre.
Peut-être Thalès et/où règle des sinus (avec des sinus qui disparaissent parcequ’ils ne doivent pas intervenir) mais je ne vois pas.
Et pour Tri, en effet, la réponse est de 70°, mais pour le moment, à part faire intervenir de la trigo ou mesurer… 
J’ai pensé faire intervenir un point E, qui permettrait à AEBC d’être un parallélogramme.
Mais mon chef est arrivé avec du boulot donc j’ai pas pu pousser plus loin cette idée…
petezahh dit:Peut-être Thalès et/où règle des sinus
Je me disais aussi , et ou Pythagore ?
J'avais aussi pensé au parallélogramme DBCE (point fictif situé à distance BC de D) ou l'angle BDE = 100°, mais une diagonale de parallélogramme, ça n'a pas vraiment de propriété sur les angles
Juste des angles internes/externes et alternes/internes, comme pour deux droites parallèles
petezahh dit:Dans ton raisonnement, cela voudrait dire que D est le milieu de AC, ce qui me semble faux
Oui, effectivement. Je ne sais pas pourquoi mais j'ai inconsciemment pris le symbole " comme signifiant que D était au milieu du segment. Du coup, ça m'avait vachement étonné que BC et DB soient de la même longueur...
Plouf.