Bonjour à tous,
on m’a récemment offert le jeu Age of Mythology que je trouve très bon mais après lui avoir assigné quelques variantes.
Et depuis une question me possède:
- Soit la règle suivante:
Chaque joueur lance X dés, celui qui fait le plus de 6 gagne, en cas d’égalité on relance.
• Combien on a de chance de gagner quelqu’un si on lance X dés et lui Y dés?
En fait, je voudrais un tableau allant jusqu’à 8 dés affichant les pourcentages de chances de gagner pour chaque cas (2 dés contre 1, 3 contre 2, 3 contre 1…). Le tableau, je pourrais le faire, mais c’est la formule que je n’arrive pas à retrouver.
- Et je voudrais savoir ce qu’il en est si on ajoute la variante suivante:
En cas d’égalité des 6, on regarde celui qui a le plus de 5. Si c’est encore une égalité, on relance.
Ceci pour éviter de passer trois plombes à lancer les dés.
Alors, si quelqu’un a des bases en calcul probabilatoire, ça m’aiderait.
Avec un dé, tu as 5/6 chances de ne pas sortir un six.
Avec deux dés, tu mets ça au carré.
Avec trois dés, tu mets ça au cube, etc.
enfin je crois
donc à n dés, la probabilité de faire un 6 est de :
1- (5/6)^n
Après, je peux pas trop aider pour la suite, à moins de me creuser la cervelle pour trouver les formules. Mais il est tard…
Et puis ptet que ce que j’ai dit est n’importe quoi.
Finalement j’ai essayé de calculer selon ma logique (suis pas matheux) et je dirais :
à N dés contre R dés (lettres arbitraires), on a pour le joueur N :
50% + [ (1 - (5/6)^N) - (1- (5/6)^R) ] / 2
soit
50% + [ (5/6)^R - (5/6)^N ] / 2
pour le joueur lançant N dés
et
50% + [ (5/6)^N - (5/6)^R ] / 2
pour le joueur lançant R dés
… mais les matheux t’en dissuaderont mieux que moi.
Beri, une heure du math
En fait il y a 2 formules
la formule “au moins k 6 parmi n” et la formule “exactement k 6 parmi n”
(k est le nombre que tu souhaite obtenir et n le nombre de dés que tu lances).
“au moins” est la formule qui t’intéresse mais tu as tout de même besoin de l’autre pour calculer simplement (enfin il y a toujours d’autres chemins avec les proba, mais moi c’est comme ça que je fais parce que cela me semble logique).
- univers des possibilités : 6^n
- nombre de lancers contenant exactement k 6 en lançant n dés : 5^(n-k) * C(k,n)
- proba d’obtenir exactement k 6 en lançant n dés : nombre de lancers/(6^n)
Et pour “au moins” tu fait la somme des “exactement”. Par exemple pour savoir au moins deux 6 en lançant trois dés, tu calcule le nombre de lancers avec “exactement 2” que tu additionne avec le nombre de lancers avec “exactement 3” et pour avoir la proba tu divises par l’univers des probabilités.
Plus concrètement :
on lance 3 dés donc l’univers des proba est de 216 (6^3)
lancer exactement un 6 : 5^(3-1) * C(1,3) soit 253 =75
lancer exactement deux 6 : 5^(3-2) * C(2,3) soit 53=15
lancer exactement trois 6 : 1
donc :
proba de lancer au moins un 6 sur 3 dés = (75+15+1)/216 = 42,1%
proba de lancer au moins deux 6 sur 3 dés = (15+1)/216 = 7,4%
proba de lancer trois 6 sur 3 dé = 1/216 = 0,5%
et il reste par ailleurs 50% de chances de ne faire aucun 6.
Je te ferai bien les 5 aussi, mais là il est tard 
Encore moi, pour la comparaison, mais je me rappelle un peu moins du truc, donc désolé s’il y a une erreur. Ca nous occupera demain.
Donc, si tu veux comparer les deux lancers, il faut te servir des chiffres obtenus ci dessus.
Mettons que tu veuille comparer un gars qui lance 3D avec un autre qui en lance 1
univers des probas 6216=1296
sur ces 1296 possibilités il y en a 166 ou le joueur avec 3D va faire deux 6 au moins et gagner automatiquement. Il y en a 75*5 ou 3D va gagner par 1 à 0. Donc ça fait (96+375)/1296 soit 36,3% de chance de gagner pour 3D…
1D a également des chances de gagner 1 à 0 il en a exactement 125/1296 soit 9,6%
Le reste (54%) est constitué de cas d’égalités…
Evidemment cela devient plus coton si tu introduis les 5, mais voilà le principe…
Voilà, alors j’ai passé un peu de temps ( 
) à faire le tableau, avec un tableur, correspondant à ce que tu demandes, adinx, mais je ne sais pas le placer ici alors j’en fais un copié/collé 
:
J2012345678
J1
00,0%0,0%0,0%0,0%0,0%0,0%0,0%0,0%
1100,0%50,0%30,9%21,0%15,1%11,2%8,5%6,6%5,2%
2100,0%69,1%50,0%37,3%28,5%22,1%17,5%13,9%11,2%
3100,0%79,0%62,7%50,0%32,4%32,4%26,3%21,5%17,7%
4100,0%84,9%71,5%59,9%50,0%41,7%34,8%29,1%24,4%
5100,0%88,8%77,9%67,6%58,3%50,0%42,8%36,5%31,2%
6100,0%91,5%82,5%73,7%65,2%57,2%50,0%43,5%37,8%
7100,0%93,4%86,1%78,5%70,9%63,5%56,5%50,0%44,1%
8100,0%94,8%88,8%82,3%75,6%68,8%62,2%55,9%50,0%
Il s’agit des chances de gagner pour le joueur1 contre le joueur 2, en ayant relancé les égalités en nombre de 6.
edit: Bon, ça se lit mal, désolé, et je précise que les nombres sont le nombre de dés du J1 et du J2, respectivement en colonne et en ligne; par exemple, à 4 dés contre 6, on a 34.8% de chances de gagner, le reste (65.2% à 6 contre 4) de perdre.
fin de l’edit
Sinon, les précisions de Karis sont exactes, et je n’ai pas compris ce que calculait beri.
Je ne l’ai fait que pour les 6, car avec les 5, le travail est encore plus bourrin (et c’est rien de le dire)
la balise code est très pratique pour ça :
firebird dit:
J1\J2 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%
1 100,0% 50,0% 30,9% 21,0% 15,1% 11,2% 8,5% 6,6% 5,2%
2 100,0% 69,1% 50,0% 37,3% 28,5% 22,1% 17,5% 13,9% 11,2%
3 100,0% 79,0% 62,7% 50,0% 32,4% 32,4% 26,3% 21,5% 17,7%
4 100,0% 84,9% 71,5% 59,9% 50,0% 41,7% 34,8% 29,1% 24,4%
5 100,0% 88,8% 77,9% 67,6% 58,3% 50,0% 42,8% 36,5% 31,2%
6 100,0% 91,5% 82,5% 73,7% 65,2% 57,2% 50,0% 43,5% 37,8%
7 100,0% 93,4% 86,1% 78,5% 70,9% 63,5% 56,5% 50,0% 44,1%
8 100,0% 94,8% 88,8% 82,3% 75,6% 68,8% 62,2% 55,9% 50,0%
Flûte, une question de probas sur Tric-trac qui me passe sous le nez 
grolapinos dit:Flûte, une question de probas sur Tric-trac qui me passe sous le nezouaip, enfin dis-moi quand même que j'étais à côté de la plaque, stp
beri dit:grolapinos dit:Fl�te, une question de probas sur Tric-trac qui me passe sous le nezouaip, enfin dis-moi quand m�me que j'�tais � c�t� de la plaque, stp
Si tu y tiens... d'un autre côté, il suffit de lire ce qu'a écrit karis pour s'en rendre compte
grolapinos dit:Si tu y tiens... d'un autre côté, il suffit de lire ce qu'a écrit karis pour s'en rendre compteah? ch'ais pas j'ai pas lu jusqu'au bout, c'était pas assez intuitif pour moi
Avec un dé, tu as 5/6 chances de ne pas sortir un six.
Avec deux dés, tu mets ça au carré.
Avec trois dés, tu mets ça au cube, etc.
enfin je crois
donc à n dés, la probabilité de faire un 6 est de :
1- (5/6)^n
à N dés contre R dés (lettres arbitraires), on a pour le joueur N :
50% + [ (1 - (5/6)^N) - (1- (5/6)^R) ] / 2
soit
50% + [ (5/6)^R - (5/6)^N ] / 2
pour le joueur lançant N dés
et
50% + [ (5/6)^N - (5/6)^R ] / 2
pour le joueur lançant R dés
En fait il y a 2 formules
la formule "au moins k 6 parmi n" et la formule "exactement k 6 parmi n"
(k est le nombre que tu souhaite obtenir et n le nombre de dés que tu lances).
"au moins" est la formule qui t'intéresse mais tu as tout de même besoin de l'autre pour calculer simplement (enfin il y a toujours d'autres chemins avec les proba, mais moi c'est comme ça que je fais parce que cela me semble logique).
- univers des possibilités : 6^n
- nombre de lancers contenant exactement k 6 en lançant n dés : 5^(n-k) * C(k,n)
- proba d'obtenir exactement k 6 en lançant n dés : nombre de lancers/(6^n)
Et pour "au moins" tu fait la somme des "exactement". Par exemple pour savoir au moins deux 6 en lançant trois dés, tu calcule le nombre de lancers avec "exactement 2" que tu additionne avec le nombre de lancers avec "exactement 3" et pour avoir la proba tu divises par l'univers des probabilités.
Plus concrètement :
on lance 3 dés donc l'univers des proba est de 216 (6^3)
lancer exactement un 6 : 5^(3-1) * C(1,3) soit 25*3 =75
lancer exactement deux 6 : 5^(3-2) * C(2,3) soit 5*3=15
lancer exactement trois 6 : 1
donc :
proba de lancer au moins un 6 sur 3 dés = (75+15+1)/216 = 42,1%
proba de lancer au moins deux 6 sur 3 dés = (15+1)/216 = 7,4%
proba de lancer trois 6 sur 3 dé = 1/216 = 0,5%
et il reste par ailleurs 50% de chances de ne faire aucun 6.
Mettons que tu veuille comparer un gars qui lance 3D avec un autre qui en lance 1
univers des probas 6*216=1296
sur ces 1296 possibilités il y en a 16*6 ou le joueur avec 3D va faire deux 6 au moins et gagner automatiquement. Il y en a 75*5 ou 3D va gagner par 1 à 0. Donc ça fait (96+375)/1296 soit 36,3% de chance de gagner pour 3D...
1D a également des chances de gagner 1 à 0 il en a exactement 125/1296 soit 9,6%
Le reste (54%) est constitué de cas d'égalités...
J2 0 1 2 3 4 5 6 7 8
J1
0 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%
1 100,0% 50,0% 30,9% 21,0% 15,1% 11,2% 8,5% 6,6% 5,2%
2 100,0% 69,1% 50,0% 37,3% 28,5% 22,1% 17,5% 13,9% 11,2%
3 100,0% 79,0% 62,7% 50,0% 32,4% 32,4% 26,3% 21,5% 17,7%
4 100,0% 84,9% 71,5% 59,9% 50,0% 41,7% 34,8% 29,1% 24,4%
5 100,0% 88,8% 77,9% 67,6% 58,3% 50,0% 42,8% 36,5% 31,2%
6 100,0% 91,5% 82,5% 73,7% 65,2% 57,2% 50,0% 43,5% 37,8%
7 100,0% 93,4% 86,1% 78,5% 70,9% 63,5% 56,5% 50,0% 44,1%
8 100,0% 94,8% 88,8% 82,3% 75,6% 68,8% 62,2% 55,9% 50,0%
Il s'agit des chances de gagner pour le joueur1 contre le joueur 2, en ayant relancé les égalités en nombre de 6.
edit: Bon, ça se lit mal, désolé, et je précise que les nombres sont le nombre de dés du J1 et du J2, respectivement en colonne et en ligne; par exemple, à 4 dés contre 6, on a 34.8% de chances de gagner, le reste (65.2% à 6 contre 4) de perdre.
Code:
J1\J2 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%
1 100,0% 50,0% 30,9% 21,0% 15,1% 11,2% 8,5% 6,6% 5,2%
2 100,0% 69,1% 50,0% 37,3% 28,5% 22,1% 17,5% 13,9% 11,2%
3 100,0% 79,0% 62,7% 50,0% 32,4% 32,4% 26,3% 21,5% 17,7%
4 100,0% 84,9% 71,5% 59,9% 50,0% 41,7% 34,8% 29,1% 24,4%
5 100,0% 88,8% 77,9% 67,6% 58,3% 50,0% 42,8% 36,5% 31,2%
6 100,0% 91,5% 82,5% 73,7% 65,2% 57,2% 50,0% 43,5% 37,8%
7 100,0% 93,4% 86,1% 78,5% 70,9% 63,5% 56,5% 50,0% 44,1%
8 100,0% 94,8% 88,8% 82,3% 75,6% 68,8% 62,2% 55,9% 50,0%
Bon, vous faîtes chier, et le thème, dans tout ça ?
En fait, pour les dés, on peut utiliser dans la plupart des cas une loi binomiale (http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale), et la fonction est présente dans les tableurs, que ce soit en version cumulée (pour répondre à la question “au moins”) ou classique (pour répondre à la question “exactement”).
Ah! Ah!
Vous êtes trop fort,
merci beaucoup pour le tableau.
C’est terrible comme vous avez cogité dessus, je vous mets un 18/20 à tous.
Bisous!
Je crois que Karis a oublié un coefficient pondérateur très important dans les formules qu’il utilise et qui faussent completement son calcul.
En effet, pour les personnes “chats noirs”, le “coefficient moule” est inférieur à celui des chanceux !
Ah oui bobdju a raison, ça influe beaucoup sur les scores ça.
Bon si pour les cinq, c’est trop compliqué, on peut simplifier le problème:
C’est celui qui fait le plus de 6 et de 5 qui gagne
Donc une chance sur 3 de faire bon sur un dé.
Je vais essayer de le faire avec vos formules, mais va me falloir une feuille, mes cours de maths commencent à devenir qu’un loin souvenir.
Je confirme le calcul de Firebird, bravo à lui.
En fait il faut d’abord considérer le cas sans relance.
Fixons le nombre de dés n et m pour les joueurs J1 et J2, et notons X1 le nombre de 6 de J1, et X2 le nombre de 6 de X2. On calcule P(X1>X2) et P(X1=X2) en partitionnant. Par exemple, P(X1>X2) = somme de j=0 à m de ( P(X1>j sachant X2=j) x P(X2=j) ) càd = somme de j=0 à m de ( P(X1>j) x P(X2=j) ), car X1 et X2 sont indépendantes. Les valeurs P(X1>j) et P(X2=j) s’obtiennent facilement puisque X1 et X2 sont de lois binomiales. On les calcule soit même ou on les trouve dans les sources sus-cités.
De même, P(X1=X2) = somme de j=0 à m de ( P(X1=j) x P(X2=j) ). On note que dans ces formules certains termes de la somme sont nuls, mais ce n’est pas grave. Bien entendu, un tableur ou n’importe quel langage de programmation facilite les choses pour traiter tous les cas !
Ca, c’est pour le cas d’un seul lancer. Maintenant, on fixe toujours n et m et on note p0 la proba que X1=X2 (ie on doit relancer) et p1 la proba que X1>X2 (ie c’est fini, J1 a gagné). On a donc 1-p0-p1 la proba que J2 batte J1, mais ça n’interviendra pas dans le calcul. On doit calculer la probabilité que J1 gagne quand il faut relancer en cas d’égalité, et ça, ça constitue un exercice indépendant des calculs précédents. Le résultat est p1 / (1-p0), et pour ceux que ça intéresse (et qui auront déjà réfléchi à la question), j’explique pourquoi ci-dessous (spoiler…).
On considère qu’on relance indéfiniment les dés, et on note Z(i) le résultat du ième “lancer” : 1 si J1 dépasse J2, 0 si égalité, -1 si J2 fait mieux que J1. On a par hypothèse Z(0)=0. On note u(i) la proba que Z(i) vaille 1, et v(i) la proba que Z(i) vaille 0. On a v(0)=1 et u(0)=0. Un petit raisonnement aboutit à :
* v(i) = p0 x v(i-1), pour tout i, donc v(i) = p0 à la puissance (i-1).
* u(i) = u(i-1) + p1 x v(i-1), donc u(i) = p1 x (1+p0+p0 au carré + … + p0 à la puissance (i-1)).
Ces deux relations de récurrence s’obtiennent en regardant les quantités P( Z(i) = 1 | Z(i-1) = k ) pour k valant respectivement -1, 0, et 1, et la même chose pour P( Z(i) = 0 | Z(i-1) = k ). La suite de variables (Z(i)) est ce qu’on appelle une chaîne de Markov : elles ne sont ni indépendantes ni de même loi, mais la connaissance de Z(i-1) suffit à connaitre la loi de Z(i).
On a donc obtenu u(i) = p1 x (1-(p0 à la puissance i)) / (1-p0), qui converge vers p1/(1-p0) quand i tend vers l’infini. C’est la proba recherchée (expliquer pourquoi serait un poil plus compliqué, donc on va s’arréter là).
Ah oui, j’oubliais : pour la variante “Si égalité on regarde le nombre de 5 et si encore égalité on relance”, je pense que le calcul brut risque d’être passablement violent, et il vaut mieux évaluer les résultats par simulations.
Maintenant, avec la variante “Gagne celui qui fait le plus de 6 et de 5”, cela change en effet peu de choses, et les résultats numériques sont les suivants, en % (j’ai exclu les cas n=0 ou m=0, et me suis arrété à 6 lancers).
m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6
! 50. 26.7 15.1 8.9 5.5 3.4 ! n=1
! 73.3 50. 33.1 21.8 14.5 9.7 ! n=2
! 84.9 66.9 50. 36.2 25.9 18.3 ! n=3
! 91.1 78.2 63.8 50. 38.2 28.6 ! n=4
! 94.5 85.5 74.1 61.8 50. 39.5 ! n=5
! 96.6 90.3 81.7 71.4 60.5 50. ! n=6
bobdju dit:En effet, pour les personnes "chats noirs", le "coefficient moule" est inférieur à celui des chanceux !
Je crois ces valeurs n'existe pas, elles sont seulement dans la tête de ceux qui n'arrête pas de se répéter qu'ils n'ont jamais de chance et qui voient toujours le verre à moitié vide en prenant appui sur leurs défaites sans se souvenir de leurs victoires.
Pour les 5 en fait c’est un sous cas des 6.
Il faut réappliquer les mêmes formules (mais avec des D5) et ensuite combiner les probas.
Je le fait à la mano, mais je suis sûr qu’un petit génie d’Excel va nous pondre ça…
Je reprend mon cas avec 3D contre 1
On a vu qu’il y avait sur les 1296 possibilités 596 (471+125) combinaisons victorieuses. Il reste donc 700 cas d’égalité.
Sur ces 700 cas, il y a 75 1/1 et 625 0/0.
cas des 1/1
le joueur qui lance 1D a fait un 6 donc le jouer avec 3D gagne dès qu’il a au moins un 5 sur ces 2 restants (mais pas de 6 puiqu’il y a 1 partout). Il a donc 15 cas soit 20% de chance de gagner (les 80% restant étant de l’égalité)
cas des 0/0
plus complexe car là, même le jouer à 1D peut gagner ! Là encore on oublie les 6 puique personne n’en a tiré…
il y a donc 5*125=625 possibilités
Pour le joueurs à 3D il a (j’applique toujours ma formule)
64/125 de faire zéro 5 excatement
48/125 de faire un 5 exactement
12/125 de faire deux 5 exactement
1/125 de faire trois 5 exactement
Pour la comparaison, il gagne automatiquement dans les cas où il fait deux 5 au moins (12+1)5 = 65
il gagne également dans les cas ou il fait un 5 et que son adversaire n’en fait pas (484) = 192
257:625=41%
le gars avec 1D gagne s’il fait 5 et que son adversaire n’en fait aucun et il y a 64 cas donc 64/624=10%
Et il reste donc 49% de cas à égalité pour la situation 0/0.
Avec tout ça tu a vu tous les cas pour les 6 et tous les sous-cas pour les 5.
Maintenant, comme les calculs de comparaison de proba sont fastidieux, il faut mixer les deux cas 0/0 et 1/1 dans un tableau puis remixer ça avec les résultats obtenus dans le tableau des 6. Bonne chance à celui qui le fera, ça ne doit pas être dur, mais un peu fastidieux quand même…