Ce n'est pas une énigme mais plutot un petit problème de statistique. Je lisais les règles de Age Of Mythology : the Boardgame hier soir et je me suis posé la question en regardant le système de combat.
Pour faire court, chaque adversaire lance un certain nombre de dès et celui qui a fait le plus de 6 gagne (on relance en cas d'égalité).
Admettons que je lance 9 dés et mon adversaire 6, quelles sont mes chances de gagner ?
Soit X la variable associée au nombre de 6 obtenus sur mes 9 dés.
Soit Y la variable associée au nombre de 6 obtenus sur les 6 dés de mon adversaire.
Les valeurs prises par X sont 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 et celles par Y 0,1,2,3,4,5,6.
Les nombres suivants indiquent les probabilités associées aux différentes valeurs prises par X (entre parenthèses) :
715/2002 (0)
495/2002 (1)
330/2002 (2)
210/2002 (3)
126/2002 (4)
70/2002 (5)
35/2002 (6)
15/2002 (7)
5/2002 (8 )
1/2002 (9).
Les nombres suivants indiquent les probabilités associées aux différentes valeurs prises par Y (entre parenthèses) :
210/462 (0)
126/462 (1)
70/462 (2)
35/462 (3)
15/462 (4)
5/462 (5)
1/462 (6).
La probabilité pour que je gagne est le nombre suivant :
G = P(X=9) + P(X=8 ) + P(X=7) + P(X=6,Y<6) + P(X=5,Y<5) + P(X=4,Y<4) + P(X=3,Y<3) + P(X=2,Y<2) + P(X=1,Y<1)
G = P(X=9) + P(X=8 ) + P(X=7) + P(X=6).P(Y<6) + P(X=5).P(Y<5) + P(X=4).P(Y<4) + P(X=3).P(Y<3) + P(X=2).P(Y<2) + P(X=1).P(Y<1)
G = 1/2002 + 5/2002 + 15/2002 + 35/2002*461/462 + 70/2002*456/462 + 126/2002*441/462 + 210/2002*406/462 + 330/2002*336/462 + 495/2002*210/462.
G = 59/132 = 44,7%.
Tu as donc pratiquement une chance sur 2 de gagner.
Tu trouves assez rapidement que la probabilité que tu perde est de 38/132 (28,8%) et celle de relancer les dés 35/132 (26,5%).
Par contre, je ne connais pas la formule générale (quelque soit le nombre de dés lancés par les 2 joueurs). Alors, généraliser à un nombre quelconque d'adversaire... 
Nim, je compte sur toi pour me confirmer ce résultat.
Heu, c'était pas une énigme mais vraiment une question (je ne connais pas la réponse). Je n'ai pas du être assez clair.
Merci en tout cas pour le temps passé dessus.
Bon de mon coté, j'ai fait le calcul pour 2 dés contre 1.
Les résultats vont être :
0-0 125 fois /216
1-1 10 fois /216
1-0 50/216
2-0 5/216
2-1 1/216
0-1 25/216
Donc, avec 2 dés, je gagne dans 56/216 = 25.92 % de cas et je perds dans 25/216 = 11.57% des cas (le reste du temps il y a égalité et je relance).
Au final je gagne dans 69,13 % des cas.
Je ne comprends pas trop ta réponse, là. 
Tu souhaites connaître tes chances de gagner quand tu lances 9 dés et ton adversaire 6, c'est bien çà ? Dans ce cas, j'ai répondu à l'attente (avec même une explication en prime 
). Cela dit, ne me demande pas les formules mathématiques m'ayant permis de déterminer les probas, elles sont relativement compliquées, surtout pour un non-habitué.
Si ce que tu as décrit représente le système de combat de Age of Mythology, veux-tu un tableau des différents cas possibles ?
deepdelver dit:Les nombres suivants indiquent les probabilités associées aux différentes valeurs prises par X (entre parenthèses) :
(...)
5/2002 (8 )
1/2002 (9).
J'ai pas tout vérifié mais là je tique déjà.
Avec 9 dés j'ai une chance sur 6^9 soit une chance sur 10 077 696 de faire 9 fois 6. Comment es-tu arrivé à 2002 ?
J'ai l'impression que l'on a des points de vue différents. Tu considères les jets de dés dans leur globalité, tandis que moi, je regarde le résultat de mes jets, ceux de mon adversaire, et je compare. Les résultats seront sensiblement différents. De plus, dans l'énoncé, tu ne précises pas que lje gagne en cas d'égalité.
deepdelver dit:Je ne comprends pas trop ta réponse, là.
C'était juste pour dire que c'était pas la peine de répondre en invisible
ReiXou dit:deepdelver dit:Les nombres suivants indiquent les probabilités associées aux différentes valeurs prises par X (entre parenthèses) :
(...)
5/2002 (8 )
1/2002 (9).
J'ai pas tout vérifié mais là je tique déjà.
Avec 9 dés j'ai une chance sur 6^9 soit une chance sur 10 077 696 de faire 9 fois 6. Comment es-tu arrivé à 2002 ?
Cela est vrai si tu lances les dés l'un après l'autre (tu jettes 9 fois le même dé en gros), pas si tu lances les 9 dés et que tu classes les résultats obtenus par face croissante.
deepdelver dit:J'ai l'impression que l'on a des points de vue différents. (...) De plus, dans l'énoncé, tu ne précises pas que je gagne en cas d'égalité.
Euh, oui, on a des points de vues différents là dessu, effectivement.
En cas d'égalité, on relance (c'est dans l'énoncé), donc personne ne gagne (on repart de zéro, quoi).
deepdelver dit:Cela est vrai si tu lances les dés l'un après l'autre (tu jettes 9 fois le même dé en gros), pas si tu lances les 9 dés et que tu classes les résultats obtenus par face croissante.
Explique moi la différence, elle ne me parait pas évidente (en fait , pour être clair, je pense que tu te gourres).
ReiXou dit:
C'est parti pour un peu de dénombrements !!
Prenons l'exemple avec 2 dés.
1) Je lance un dé 2 fois de suite et je note le résultat de chaque lancer.
Il y a effectivement 6*6 = 36 résultats possibles, dont 1 seule permet de faire le double 6.
2) Je lance 2 dés et je note le résultat obtenu, dans l'ordre croissant des faces.
Les résultats sont alors :
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,5)
(5,6)
(6,6)
Soit 21 résultats possibles (pour moi faire (1,6) ou (6,1), c'est la même chose). et toujours une seule configuration pour le double 6.
deepdelver dit:Soit 21 résultats possibles (pour moi faire (1,6) ou (6,1), c'est la même chose). et toujours une seule configuration pour le double 6.
Bon j'ai compris ton explication.
Par contre si tu arrives à la conclusion qu'en lançant 2 dés, j'ai une chance sur 21 de faire un double 6, on n'est plus d'accord du tout du tout.
J'ai une chance sur 36 !
deepdelver dit:
Soit 21 résultats possibles (pour moi faire (1,6) ou (6,1), c'est la même chose). et toujours une seule configuration pour le double 6.
(1,6) ou (6,1) c'est le même résultat, mais tu dois quand même le compter deux fois, non ?
je ne vois pas trop pourquoi tu supprimes les doublons ?
Pour calculer les statistiques, tu dois tenir compte de tous les résultats et pas seulement de ceux qui sont différents, non ?
Excusez-moi, c'est vrai, elle apparaît 2 fois. Il y a bien 1 chance sur 36 de faire un double 6. Mea culpa.
Je reprends mes calculs. (en soit, la démarche est correcte, ce sont les résultats qui sont faux).
Ca faisait longtemps que je n'avait plus fait de proba, et connaissant mon bagage mathématique, j'ai voulu trop en faire.
Ca y est, les calculs sont refaits (il s'agissait tout bonnement de lois géométriques).
Soit X la variable associée au nombre de 6 obtenus sur mes 9 dés.
Soit Y la variable associée au nombre de 6 obtenus sur les 6 dés de mon adversaire.
Les valeurs prises par X sont 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 et celles par Y 0,1,2,3,4,5,6.
Les nombres suivants indiquent les probabilités associées aux différentes valeurs prises par X (entre parenthèses) :
1,9.10^-1 (0)
3,5.10^-1 (1)
2,8.10^-1 (2)
1,3.10^-1 (3)
3,9.10^-2 (4)
7,8.10^-3 (5)
1,0.10^-3 (6)
8,9.10^-5 (7)
4,5.10^-6 (8 )
9,9.10^-8 (9). (A quelques arrondis près)
Les nombres suivants indiquent les probabilités associées aux différentes valeurs prises par Y (entre parenthèses) :
3,3.10^-1 (0)
4,0.10^-1 (1)
2,0.10^-1 (2)
5,4.10^-2 (3)
8,0.10^-3 (4)
6,4.10^-4 (5)
2,1.10^-5 (6) . (A quelques arrondis près)
La probabilité pour que je gagne est le nombre suivant :
G = P(X=9) + P(X=8 ) + P(X=7) + P(X=6,Y<6) + P(X=5,Y<5) + P(X=4,Y<4) + P(X=3,Y<3) + P(X=2,Y<2) + P(X=1,Y<1)
G = P(X=9) + P(X=8 ) + P(X=7) + P(X=6).P(Y<6) + P(X=5).P(Y<5) + P(X=4).P(Y<4) + P(X=3).P(Y<3) + P(X=2).P(Y<2) + P(X=1).P(Y<1)
G = 48,8%. (A peu près)
Ce résultat correspond à mon point de vue (je regarde mes lancers, ceux de mon adversaire et je compare).
Je serais curieux d'avoir le tien, ReiXou, puisque tu calcules, si j'ai bien compris, à partir des 15 dés.
deepdelver dit:Je serais curieux d'avoir le tien, ReiXou, puisque tu calcules, si j'ai bien compris, à partir des 15 dés.
Ahem ....
Donne moi 2 ou 3 semaies (moi je les ai pas trouvé les lois géométriques).
Tu peux me donner les formules, STP ?
Voilà ou j'en suis, avec x dés. Sur 6^x possibilités :
- j'ai 5^x chances de ne faire aucun 6.
- j'ai x * 5^(x-1) chances de faire un seul 6 (? pas sur)
- et ensuite ????
- j'ai 1 chance de faire x 6
deepdelver dit:G = 48,8%. (A peu près)
Et combien de chances de perdre ? Et de faire égalité ?
En fait comme on relance, on peut virer les égalités pour calculer le pourcentage de gains. Du coup ton résultat dviendrait : 48.8% de chances de gagner du premier coup (sans relancer).
ReiXou dit:deepdelver dit:G = 48,8%. (A peu près)
Et combien de chances de perdre ? Et de faire égalité ?
Je te fais ça pour demain.
ReiXou dit:En fait comme on relance, on peut virer les égalités pour calculer le pourcentage de gains. Du coup ton résultat dviendrait : 48.8% de chances de gagner du premier coup (sans relancer).
Ah oui, mais si tu cherches la petite bête, on ne s'en sort plus
.Concernant les lois géométriques :
Je jette un dé N fois et je veux connaître le nombre de fois (k) que le 6 apparaît.
La formule générale est P(X=k) = N!/(k!(N-k!))(1/6)^k*(5/6)^(N-k)
Où N! = 1*2*3*...*N.
Si tu veux de plus amples renseignements, fait une recherche sur Internet, ou on en discute le WE prochain.
Il est bien sur ultra faux.
1 - la simplification est fausse, sinon j'aurai autant de chances à 4 contre 1 qu'à 9 contre 6 (ce qui n'est bien sur absolument pas le cas).
2 - Avec 3 dés, je n'ai bien sur pas 3 chances sur 6 de faire un 6 (sinon avec 6 dés, je serais sur de faire un 6, ce qui évidemment faux).
D'où la devise : Méfiez vous des maitres du mondes, ils sont moyens en stats. 