Bah c’est une bête application de la formule de Bayes et de la formule des probabilités totales. Avant même le calcul, je peux d’ores et déjà te dire qu’évidemment, il faut reprendre le même.
Quelle est la proba que le revolver A soit vide (V) sachant qu’il a fait “clic” une fois (C) ?
P(V|C)=P(VnC)/P(V)=P(C|V)P(V)/P(C)=P(C|V)P(V)/(P(C|V)P(V)+P(C|nonV)P(nonV))=1x1/2/(1x1/2+2/3x1/2)=3/5.
Quelle est la proba que le revolver A soit vide (V) sachant qu’il a fait “clic” “clic” (CC) ?
P(V|CC)=P(CC|V)P(V)/(P(CC|V)P(V)+P(CC|nonV)P(nonV))=1x1/2/(1x1/2+4/9x1/2)=9/13.
Quelle est la proba que le revolver A soit vide (V) sachant qu’il a fait n “clics” (nC) ?
P(V|nC)=P(nC|V)P(V)/(P(nC|V)P(V)+P(nC|nonV)P(nonV))=1x1/2/(1x1/2+(2/3)^nx1/2)=3^n/(3^n+2^n).
Cette suite tend vers 1 très vite. Au bout de 4 ou 5 clics, les mecs, il peuvent jouer à pan pan t’es mort avec le flingue sans trop d’angoisse.
grolapinos dit:DuncanIdaho dit:On est encore dans un jeu télé. Le présentateur me présente deux boîtes, A et B, et m'explique que l'une contient deux fois plus d'argent que l'autre. Je dois en choisir une.
Admettons que je choisisse A. Au moment de l'ouvrir, j'hésite. En effet, si A contient n €, alors B a 1 chance sur 2 de contenir 2n € et 1 chance sur deux de contenir 0.5n €. Mon espérance de gain en choisissant B est donc de 2n * (1/2) + 0.5n * (1/2) = 1.25 n, ce qui est plus important qu'en conservant mon choix.
Pourtant, c'est débile car si j'avais a priori choisi B, de la même manière, j'aurais pu déduire que A contenait plus.
J'avais loupé ça, et là, on touche à du très difficile à expliquer en fait.
En gros, ton raisonnement se fonde sur le fait que toutes les valeurs de n sont équiprobables, ce qui est évidemment faux. En gros, il y a beaucoup plus de chances que n vaille 1000 que 1.000.000. Du coup, il n'y a pas non plus équiprobabilité entre 2n et n/2 dans ton raisonnement...
Mathématiquement, ça revient juste à dire qu'il n'y a pas de loi de probabilité qui donne un tirage équiprobable sur l'ensemble des entiers.
Pas d'accord sur la tentative d'explication de grolapinos, désolé
En fait le paradoxe exposé par DuncanIdaho tient simplement sur une interprétation erronée du calcul, qui lui-même ne modélise pas vraiment la situation.
La formule 2n * (1/2) + 0.5n * (1/2) = 1.25 n calcule une espérance de gain comme une valeur pondérée (en fonction des probabilités) de la deuxième boîte à partir de la valeur de la première boîte, en l'occurrence n.
L'interprétation qu'on peut faire de ce calcul, c'est que si l'on ne sait pas quelles sont les deux sommes, que toutes les valeurs sont possibles et équiprobables, mais qu'on sait juste que l'une est le double de l'autre, alors après avoir regardé dans la première boîte, et qu'on nous propose de prendre plutôt l'autre, on a plus à gagner (100% en plus) qu'à perdre (50% en moins) à prendre le risque de changer de boîte. Ce qui est parfaitement juste.
Mais ce qui est faux, c'est d'en conclure qu'il aurait été plus intéressant de choisir l'autre boîte. Il y a toujours une chance sur deux pour qu'elle contienne une plus grosse somme, et une chance sur deux qu'elle en contienne une plus petite.
DuncanIdaho dit:si j'avais a priori choisi B, de la même manière, j'aurais pu déduire que A contenait plus
C'est là qu'est la fausse interprétation du calcul : il n'indique même pas que l'autre boîte contient probablement plus, puisqu'au contraire il s'appuie sur le fait qu'il y a autant de chances pour qu'elle contienne moins.
Après, le lien entre une espérance de gain et un intérêt est lui-même discutable, avec ce principe on n'a aucun intérêt à jouer au loto puisque l'espérance de gain est inférieure à la somme jouée. C'est peut-être pour ça que je n'y joue pas d'ailleurs.
tyrion dit:Pas d'accord sur la tentative d'explication de grolapinos, désolé
Moi non plus. Grolapinos rajoute des informations qui ne sont pas dans l'énoncé. Que 1 000 soit plus probable que 1 000 000 ne fait pas partie des hypothèses (de même que 1000€ est sûrement plus probable dans ce contexte de jeu TV qu'une somme de quelques centimes). Disons que dans le cadre d'un jeu télé, le fait que je parle de sommes en € peut aider le joueur à se décider (encore que dans mon énoncé, le joueur raisonne avant d'avoir vu le contenu de l'enveloppe) mais je pourrais poser le problème avec des données moins matérielles et sans indiquer d'unité et le paradoxe resterait entier.
Vous pouvez trouvez des infos sur ce paradoxe sous le nom de "paradoxe des deux enveloppes".
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_d ... enveloppes
Bon, je ne vois pas en quoi tyrion dit autre chose que moi en fait… J’ai bien dit que conditionnellement à la valeur de la première boîte et sachant les valeurs possibles, je peux être amené à changer de boîte, mais que sans ce conditionnement, ça n’a aucun intérêt. Cependant, un raisonnement conditionnel par rapport à la valeur de la boîte choisie est mathématiquement faisable, y compris sur une somme n arbitraire ! Il faut donc savoir où ce raisonnement conditionnel est faux dans le calcul proposé.
Le calcul de DuncanIdaho se fonde sur une hypothèse d’équiprobabilité des valeurs possibles pour chaque boîte. Or, ce que je dis, c’est que cette hypothèse est mathématiquement impossible, qu’on parle de fric ou d’autre chose. Dire 1000 ou 1 million n’est là que pour donner une explication simple de cela par l’exemple. Mais je peux aussi bien évoquer le fait qu’une série à terme constant non nul est divergente ou qu’une fonction constante non nulle n’est pas intégrable, s’il faut une justification propre.
De fait, dans l’exemple du jeu, on ne sait pas quelles sont les valeurs possibles, mais il n’y en a qu’un nombre fini. En admettant même une hypothèse d’équiprobabilité de ces valeurs (loin d’être évidente d’ailleurs, à vue de nez même pas réalisable de fait, mais peu importe), ça ne change rien au fait que le calcul est faux, car il y a une valeur supérieure qui donne une espérance de gain négative, compensant toutes les autres, qui sont positives. Voilà ce que j’essayais de dire.
Un calcul juste est le suivant : les boîtes sont proposées par lot de 2. Et c’est bien sur ces lots de deux valeurs qu’il faut raisonner. Quelle que soit la loi qui dicte le choix des lots, on peut conditionner par rapport à un lot : sachant que j’ai le lot [n] [2n], quand j’ai choisi une boîte :
-soit j’ai la boîte [n], mon gain en changeant de boîte est n.
-soit j’ai la boîte [2n], mon gain en changeant de boîte est -n.
L’espérance conditionnelle (attention, y’a des maths pas simples là) du changement de boîte sachant un lot est nulle quel que soit le lot. J’en déduis que l’espérance globale du changement de boîte est nulle.
Maintenant, concernant ce que je disais au début : conditionnellement à la valeur d’une boîte, sachant que je n’ai pas tapé la valeur maximale, je change. Il s’agit d’une appréciation plus ou moins pifométrique, fondée sur une hypothèse invérifiable d’équiprobabilité des lots. Là encore, il me manque pour étayer mon calcul la loi du tirage des lots. Il faudrait faire une étude statistique.
J’espère avoir convaincu tout le monde. En tout cas, moi, je suis très convaincu 
J’aime bien les proba et les stats.
Pour changer un peu des calcul de proba, un truc qui me facine là dedans, c’est la loi de benford.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Benford
grolapinos dit:J'espère avoir convaincu tout le monde. En tout cas, moi, je suis très convaincu
Après une rapide recherche, ta solution fait visiblement partie des solutions proposées. Cependant, contrairement au problème de Monty Hall, le paradoxe des deux enveloppes semble toujours discuté et n'a pas encore de solution consensuelle.
La page wikipedia anglaise comporte quelques liens vers des articles proposant des solutions. On y trouve effectivement des discussions intéressantes sur la fonction de distribution utilisée. La page de David Chalmers résume notamment différents points de vue sur l'hypothèse d'une distribution uniforme (et donc la possibilité de l'équiprobabilité des valeurs).
http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
jmguiche dit:J'aime bien les proba et les stats.
Pour changer un peu des calcul de proba, un truc qui me facine là dedans, c'est la loi de benford.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Benford
Oui, j'adore ce truc aussi
DuncanIdaho dit:grolapinos dit:J'espère avoir convaincu tout le monde. En tout cas, moi, je suis très convaincu
Après une rapide recherche, ta solution fait visiblement partie des solutions proposées. Cependant, contrairement au problème de Monty Hall, le paradoxe des deux enveloppes semble toujours discuté et n'a pas encore de solution consensuelle.
La page wikipedia anglaise comporte quelques liens vers des articles proposant des solutions. On y trouve effectivement des discussions intéressantes sur la fonction de distribution utilisée. La page de David Chalmers résume notamment différents points de vue sur l'hypothèse d'une distribution uniforme (et donc la possibilité de l'équiprobabilité des valeurs).
http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
En lisant la page de Chalmers, je constate que le paradoxe est bel et bien levé par la solution que je propose. Le calcul d'espérance conditionnelle fait à la fin, et qui généralise à toute loi de probabilité, y compris les distributions continues, le calcul que je fais au-dessus, est incontestable, il me semble.
Dans le cas d'une mesure infinie, évoqué à la fin, il n'y a effectivement plus de paradoxe, mais ce ne sont plus des probabilités.
C'est en tout cas un fort joli paradoxe, et je ne m'étais jamais interrogé dessus. Merci de m'en avoir donné l'occasion
grolapinos dit:C'est en tout cas un fort joli paradoxe, et je ne m'étais jamais interrogé dessus. Merci de m'en avoir donné l'occasion
Je l'aime bien aussi
. Je l'avais découvert il y a quelques années dans un numéro hors série de Sciences et Avenir consacré aux paradoxes, ça m'avait pas mal interloqué. C'est le problème de Monty Hall qui me l'a rappelé. Dans le cas des deux enveloppes, ce qui est marrant, c'est que c'est bien l'intuition qui est correcte (changer d'enveloppe n'apporte rien), alors que c'est le calcul qui apporte une fausse solution. Et on voit bien, à travers ta solution et les nombreux débats, que la démonstration de l'erreur n'est pas si triviale que ça.
grolapinos dit:
Un calcul juste est le suivant : les boîtes sont proposées par lot de 2. Et c'est bien sur ces lots de deux valeurs qu'il faut raisonner. Quelle que soit la loi qui dicte le choix des lots, on peut conditionner par rapport à un lot : sachant que j'ai le lot [n] [2n], quand j'ai choisi une boîte :
-soit j'ai la boîte [n], mon gain en changeant de boîte est n.
-soit j'ai la boîte [2n], mon gain en changeant de boîte est -n.
Voilà, là on est d'accord.
Si l'on veux estimer le changement de boîte sans avoir regardé dans la première, c'est comme ça qu'il faut en calculer l'intérêt, qui est évidemment nul.
Comme c'est expliqué sur wikipedia, si l'on prend le premier calcul pour vouloir lui faire dire ce qu'il ne dit pas, on ajoute deux termes dans lesquels n n'a pas la même valeur.
Mais c'est vrai que le paradoxe est marrant et qu'il est facile d'avaler la couleuvre. Merci les gars pour cette découverte amusante, et plus globalement pour tout le sujet particulièrement intéressant depuis le premier article cité.
Archéologie de TT et d’ailleurs à votre service.
Je vous conseille de (re)lire l’article de Ian Stewart dans le numéro de décembre 1996 de Pour La Science sur les probablité conditionnelles.
Article qui devrait particulièrement intéresser les avocats mathématiciens de TT d’ailleurs.
(pas de scanner en état de marche, désolé)
Question : quelle était la proba qu’en prenant un Pour la Science au hasard parmi ma collection ce WE (collection qui était chez mes parents qui plus est), je tombe sur le numéro (février 97) ou l’auteur revient sur ce fameux article pour expliquer le calcul de proba du sexe des enfants ?
tyrion dit:grolapinos dit:
Un calcul juste est le suivant : les boîtes sont proposées par lot de 2. Et c'est bien sur ces lots de deux valeurs qu'il faut raisonner. Quelle que soit la loi qui dicte le choix des lots, on peut conditionner par rapport à un lot : sachant que j'ai le lot [n] [2n], quand j'ai choisi une boîte :
-soit j'ai la boîte [n], mon gain en changeant de boîte est n.
-soit j'ai la boîte [2n], mon gain en changeant de boîte est -n.
Voilà, là on est d'accord.
Si l'on veux estimer le changement de boîte sans avoir regardé dans la première, c'est comme ça qu'il faut en calculer l'intérêt, qui est évidemment nul.
Comme c'est expliqué sur wikipedia, si l'on prend le premier calcul pour vouloir lui faire dire ce qu'il ne dit pas, on ajoute deux termes dans lesquels n n'a pas la même valeur.
Ben, ce calcul est rassurant car il n'offre pas de prise au paradoxe. Mais on DOIT pouvoir faire un calcul juste en conditionnant par rapport à n et en pondérant n/2 et 2n. Le tout est que ce calcul, dépendant d'une loi de probabilité qui n'est pas connue, n'est pas (ou très difficilement) faisable, et qu'on est amené à dire des bêtises avec.
Mais encore une fois, il ne suffit pas de donner un calcul juste pour invalider le calcul faux, il faut vraiment expliquer pourquoi il est faux.
Fadest dit:Archéologie de TT et d'ailleurs à votre service.
Je vous conseille de (re)lire l'article de Ian Stewart dans le numéro de décembre 1996 de Pour La Science sur les probablité conditionnelles.
Article qui devrait particulièrement intéresser les avocats mathématiciens de TT d'ailleurs.
(pas de scanner en état de marche, désolé)
Question : quelle était la proba qu'en prenant un Pour la Science au hasard parmi ma collection ce WE (collection qui était chez mes parents qui plus est), je tombe sur le numéro (février 97) ou l'auteur revient sur ce fameux article pour expliquer le calcul de proba du sexe des enfants ?
Si tu me donnes le numéro, je te calcule ça avec la loi de Benford
DuncanIdaho dit:la démonstration de l'erreur n'est pas si triviale que ça.
Allons allons, quelques résultats sur les mesures finies et les espérances conditionnelles... Largement à la portée de n'importe quel élève de Master de mathématiques
C'est clair que c'est sans aucun doute le paradoxe probabiliste le plus difficile à lever dans le cas général.
DuncanIdaho dit:Vous pouvez trouvez des infos sur ce paradoxe sous le nom de "paradoxe des deux enveloppes".
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_d ... enveloppes
grolapinos dit:Il s'agit d'une appréciation plus ou moins pifométrique, fondée sur une hypothèse invérifiable d'équiprobabilité des lots.
Mal à la tête...