Ceci n’est pas vraiment une énigme mais un problème qui s’en rapproche beaucoup.
Vous allez rendre visite à vos nouveaux voisins. Vous savez qu’ils ont deux enfants. Quand vous arrivez, la mère vous ouvre en compagnie d’un jeune homme qu’elle vous présente comme son fils.
Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit une fille ?
( On considère pour simplifier le problème qu’un couple a exactement 50% de chance d’avoir un garçon et 50% de chance d’avoir une fille lors de la procréation.Et pour les vicieux; la maman ne ment pas ^^)
Ah le vieux et délicieux coup de la probabilité conditionnelle…
=>Bref pas 1/2 mais 2/3 (si, si)
C’est tout l’intérêt de cette question. Elle fut, je crois, inventée pour démontrer la nécessité de modéliser correctement les données d’un problème. Outre que l’on puisse y appliquer le théorème de Bayes, les incultes en la matière (comme moi ^^) peuvent appliquer un schéma de Bernoulli sans même savoir ce que c’est.
N’importe qui peut donc trouver la bonne solution avec un peu de méthode et en laissant tomber son intuition par contre ^^.
J’avais lu il n’y a pas si longtemps sur un blog (je crois) un article sur le danger de l’évidence dans le domaine des probabilités… Notamment on citait le cas d’un procès aux Etats Unis où le procureur avait joué d’évidences qui statistiquement n’en étaient pas… Il me semble dans le même domaine qu’il y a un problème de portes assez bon aussi.
Le problème des portes est connu sous le paradoxe de Monthy Hall du nom du présentateur du jeu télévisé.
On pourra en parler dans un autre sujet.
En gros c’est en effet la même démarche, si on ne fait pas la modélisation, on arrive à une réponse aussi fausse quelle parait pourtant évidente.
Je suis un peu déçu néanmoins ^^
Les trictraquiens ne semblent pas vouloir se battre entre partisans du 1/2 et partisans du 2/3.
Autant la démonstration du paradoxe de Monthy Hall est relativement bien acceptée, autant celle du couple se heurte à des résistances parfois très virulentes.
faut dire que je pane que dalle …
enfin je veux dire je comprend bien la question mais toutes ces théories qui gravitent autour de la question m’y font perdre mon latin
Mon très cher docteur Mops,
Le souci c’est qu’on s’est déjà écharpé sur le sujet y’a pas longtemps. L’autre souci est que si votre homme bosse dans la com militaire ou sous une autenne relai de portable, y’a 98 % de chances pour qu’il ait que des filles. Donc ça dépend, et ça dépasse.
Keiyan, nul en archéologie.
intuitivement je voterai 1/2. Le tirage du garçon étant indépendant de celui de la fille pris dans un eme sac (de spermatozoides) et étant connu il n’a plus de lien avec l’autre tirage.
Grumly dit:intuitivement je voterai 1/2. Le tirage du garçon étant indépendant de celui de la fille pris dans un eme sac (de spermatozoides) et étant connu il n'a plus de lien avec l'autre tirage.
Le 1/2 sert de base de travail pour ce problème en effet.
Mais justement le lien existe une fois la procréation faite.
La question n'est pas de savoir si ce couple va procréer de nouveau (auquel cas il y bien 1 chance sur 2 d'avoir une fille) mais de connaitre la probabilité que le deuxième enfant déjà conçu soit une fille sachant qu'il y a déjà un garçon.
C'est ce qu'on appelle une condition : la probabilité de A sachant B.
Pour comprendre, il suffit de créer ce qu'on appelle un univers en proba.
L'univers est l'ensemble de tous les possibles.
On peut ici le créer facilement avec un diagramme de Bernouilli puisque les cas sont finis.
Sachant que vous avez 1/2 chance d''avoir un enfant mâle ou femelle :
Si vous avez un garçon en premier lieu le second peut être :
- Un autre garçon (GG)
-ou une file (GF)
Si vous avez une fille l'autre peut être :
- Un garçon : (FG)
- Fille (FF)
L'univers est donc U={GG,GF,FG,FF}
Chacun de ces quatre cas est équiprobable. (1/4)
Nous venons de modéliser l'affirmation : "un couple a 2 enfants".
Maintenant nous avons une condition : "L'un des enfants est un garçon".
Cela réduit notre univers de travail : FF=0 (pas de garçon)
donc :
U1 = {GG,GF,FG}
Testons chaque cas :
GG - on rencontre un garçon l'autre est un garçon (1/3 de chance)
GF - on rencontre le garçon l'autre est une fille (1/3)
FG - on rencontre le garçon l'autre est une fille (1/3)
Nous avons donc la probabilité que l'autre enfant soit une fille à 2/3
Et la réponse serait 1/2 si la mère indiquait “Voici mon aîné”… Le fait que l’on ne connaisse pas la “place” du garçon dans l’ordre des naissances fait que l’on peut être aussi bien dans le cas GF que FG.
J’ajouterais pour ceux qui se casse la tête avec des histoires d’ainés et de cadet que ce n’est pas la peine.
Ici on ne s’occupe que d’un événement : “avoir un enfant” répété deux fois.
Chercher à savoir si l’un nait avant l’autre ne change rien aux possibilités de l’événement : “un couple a deux enfants”.
Par contre comme le dit si bien Petezah, si on précise que le garçon est l’ainé on passe dans la config suivante (1 pour ainé, 2 pour cadet):
U={G1G2, G1F2,F1G2,F1F2}
Les seuls cas suivants sont vrais : G1G2,G1F2
Ce qui nous donne pour 1 : 1/2F et 1/2G.
C’est-y pas incroyab c’t’histoire ! ^^
Sauf qu’en fait non. Parce que la proba d’avoir un garçon ou une fille n’est pas la même. Donc on arrive pas à 2/3, mais à un chiffre bizarroïde avec pleins de trucs derrière la virgule.
Comme quoi la vie est mal faite, hein ?
Keiyan, ptite bête
Keiyan dit:Sauf qu'en fait non. Parce que la proba d'avoir un garçon ou une fille n'est pas la même. Donc on arrive pas à 2/3, mais à un chiffre bizarroïde avec pleins de trucs derrière la virgule.
Comme quoi la vie est mal faite, hein ?
Keiyan, ptite bête
Tu as raison mais pour l'exercice on part avec cette base que les deux sexes sont équiprobables. C'est déjà assez compliqué comme ça ^^
Monsieur Phal qui ne veut pas se mouiller dans cette partie du forum tortueuse nous pose un problème intéressant :
Il a vu le problème de base et sa variante avec l’info en plus, de dire que le garçon connu est l’ainé : réponse 1/2 ou est le cadet réponse : 1/2.
Comme il le fait remarquer assez justement, sur 2 enfants le garçon connu est forcément ainé ou cadet. On peut donc utiliser cette donnée de façon sure et… dans les deux cas le résultat est le même soit 1/2.
C’est quoi encore cette embrouille ???
Des idées pour expliquer ce paradoxe ?
Non spécialiste, je dirai cependant que ce que donne MrPhal, c’est une nouvelle condition qui vient perturber ton univers de proposition.
Il y a donc la condition “Lun est un garçon” et la condition “Il est l’ainé ou pas”. Ces deux conditions permettet d’évacuer une des propositions doublons (GF / FG) …Enfin, à ce qu’il me semble …
Je dirais 100% de chance, car sinon la concièrge vous aurait dit “ils ont deux garçons” au lieu de “ils ont deux enfants”. 
Le fils ainé est blond ?
Ca y est je viens de trouver. (pas tout seul hélas^^)
Le raisonnement de monsieur Phal s’il semble logique est fallacieux (phalatieux ?).
On peut en effet prendre en compte le rang d’ainesse dans ce problème sauf que celui ci répond à la même probabilité qu’on soit une fille ou un garçon.
Pour connaitre la proba de rencontrer l’ainé :
2 événements : B=Il y a un garçon; B1=C’est l’ainé
On reprend notre univers de possibles : U=(deux enfants)={FF,GF,FG,GG}
Trois cas possibles équiprobables : GF,FG,GG
Deux cas cas favorables : FG,GG
Donc P(B1/B)=2/3
On peut de la même manière calculer avec l’événement B2=“c’est le cadet”.
P(B2/B)=2/3
Si nous en revenons à la question initiale :
A=“c’est une fille”, B=“il y a un garçon”
P(A/B)= P(A/B1)P(B1/B)+P(A/B2)P(B2/B)
P(A/B)= 1/22/3+1/22/3=2/3
Le raisonnement Phal donnerait
P(A/B)=P(A/B2)=1/2 donc P(A/B)=1/2 ce qui transposé ainsi parait beaucoup moins logique qu’avec des mots.
Pour retraduire en mots justement :
On a 1/2 que l’autre soit une fille dans 2/3 que le garçon soit l’ainé et 1/2 d’avoir une fille dans 2/3 que le garçon soit le cadet. Ces chances se cumulent.
CQFD
Docteur Mops dit:
Ici on ne s'occupe que d'un événement : "avoir un enfant" répété deux fois.
Je me trompe peut être mais on ne cherche pas la question "avoir un enfant" sinon la réponse serait 1/2 (car on n'est pas dans A sachant B).
Mais plutôt, il y a deux enfants "quel est le sexe du deuxième".
Docteur Mops dit:
[...]
Maintenant nous avons une condition : "L'un des enfants est un garçon".
Cela réduit notre univers de travail : FF=0 (pas de garçon)
donc :
U1 = {GG,GF,FG}
Testons chaque cas :
GG - on rencontre un garçon l'autre est un garçon (1/3 de chance)
GF - on rencontre le garçon l'autre est une fille (1/3)
FG - on rencontre le garçon l'autre est une fille (1/3)
Nous avons donc la probabilité que l'autre enfant soit une fille à 2/3
Je précise de suite : les probas ça fait longtemps que j'en ai pas fait alors je peux me tromper
G et F sont indépendants : le sexe du premier enfant n'impacte pas le sexe des suivants.
donc P(F/G) = P(F) = P(G) = 1/2
50 % de chances que ce soit une fille.