Bienvenue dans le monde des probabilités a posteriori
et bravo pour le tirage 
bon je profite de ce post sur les probas pour une question qui m’empêche de dormir depuis vendredi dernier :
On a une grille dans un carré de 3 cases de coté ce qui nous fait 9 cases en tout, comme ceci :
000
000
000
si je noircis deux cases au hasard, quelle est la probabilité que ces deux cases se touchent (sachant que “toucher” vaut aussi en diagonale).
De manière empirique on a trouvé mais je voudrais une formule : please aidez moi
Si tu veux une formule, le mieux est de généraliser. Globalement, je ne pense pas qu’il y ait de meilleure approche que la disjonction de cas que tu as probablement faite “empiriquement” comme tu dis, à moins de chercher seulement une estimation pour un grand carré.
(EDIT : en fait, si, l’approche de Jérémie ci-dessous est plus efficace, même si un peu moins élémentaire à expliquer)
Sur un damier carré de côté n, tu as
4 cases qui ont 3 voisins (les coins).
4n-8 cases qui ont 5 voisins (les bords autres que les coins)
n²-4n-4=(n-2)² cases qui ont 8 voisins (le carré central).
Je choisis une case, puis une autre, introduisant ainsi un ordre de choix dont il faudra que je tienne compte après. Imaginons pour que ce soit clair que je colorie la première en rouge et la seconde en noir.
Le nombre de cas favorables recherchés est alors donné par la disjonction de cas :
{rouge et noir voisins}={rouge dans le coin et noir voisin} OU {rouge sur un bord et noir voisin} OU {rouge au centre et noir voisin}
ce qui fait numériquement
Nombre de cas avec rouge et noir voisins = 4x3+(4n-8)x5+(n-2)²x8=8n²-12n+4=4(n-1)(2n-1).
Il convient ensuite pour avoir la proba de ne diviser par le nombre de choix possibles avec ordre de deux cases parmi les n² : je choisi une case parmi n², puis une parmi les n²-1 restantes : cela fait n²(n²-1).
Il vient
P(deux carrés voisins)=4(n-1)(2n-1)/(n²(n²-1))=4(2n-1)/(n²(n+1))
Application numérique : pour n=3, il vient une probabilité de 5/9.
Remarques :
- pour n=2, on trouve une probabilité de 1, ce qui est raisonnable puisqu’on est sûrs dans ce cas d’avoir deux carrés voisins.
- pour n grand, on obtient l’estimation asymptotique
P(deux carrés voisins)~8/n².
Exercices pour la prochaine fois : -généraliser à un rectangle quelconque.
-généraliser à un cube.
-généraliser à un hypercube de dimension d quelconque et pour k cases noircies (un tout petit chouilla plus difficile 
)
grolap’, prof un jour, prof toujours.
Soit n la taille du damier
On note w(n,p) le nombre de choix de deux cases voisines sur un damier de taille n * p.
w(n, p+1) = w(n, p) + 2n-1.
Qui est une suite arithmétique ( de premier terme n-1 ) donc il vient
w(n,p) = (2n-1)(p-1) + n - 1.
La proba cherchée vaut w(n,n) / C(nn, 2) = 4/(n(n+1))
Edit: tiens lapinos n’a pas pareil que moi, c’est donc qu’il s’est gouré
Ta formule est trivialement fausse pour n=2
Ah oui c’est couillon ca, je regarde.
Ok c’est ma première formule qui déconne car j’ai oublié que l’on avait droit aux diagonales. Je refais.
EDIT : tout faux mon truc… 
Bon lapino a été plus rapide, il gagne ce round par ko…
Le truc le plus dur c’est la première formule et pour l’obtenir il faut séparer le damier n*(p+1) en deux zones une np et l’autre n1
Edit : heu en finissant le calcul j’ai plutôt l’impression de trouver
6/(n(n+1)) ce qui n’est pas tout à fait la même chose que toi
Jeremie dit:Bon lapino a été plus rapide, il gagne ce round par ko...
Le truc le plus dur c'est la première formule et pour l'obtenir il faut séparer le damier n*(p+1) en deux zones une n*p et l'autre n*1
Nan, mon truc est faux...
Si w(n,p+1)=w(n,p)+3n-1
Il vient
w(n,p)=n-1+(p-1)(3n-1).
Avec n=p, ça fait w(n,n)=3n(n-1) et tu trouves bien ton 6/(n(n+1)).
Je vois pas mon erreur à moi dans ma disjonction de cas basique par contre... Et pour n=3, je suis quand même à peu près sûr du 5/9, et ça, ça donne 1/2
Ah bah j’étais en train d’éditer mon post. Bon ya une carabistouille quelque part vais pas pouvoir bosser avant de savoir ou 
C’est clair, y’a un truc qui chie quelque part… Parce que ma formule est vraie pour n=2 et n=3, je pense qu’elle est vraie tout le temps, et encore une fois, je vois pas mon erreur si elle est fausse 
OK, je l’ai… dans la récurrence, il faut quand même tenir compte du cas où tu prends tes carrés en haut ou en bas de l’avant dernière colonne où ça fait deux configs, et il y en a 3 pour les autres.
Ça fait
w(n,p+1)=w(n,p)+3(n-2)+4+n-1=w(n,p)+4n-3.
D’où w(n,p)=n-1+(p-1)(4n-3)
w(n,n)=2(n-1)(2n-1)
et derrière c’est bon.
OUFFFF 
grolapinos dit:C'est clair, y'a un truc qui chie quelque part... Parce que ma formule est vraie pour n=2 et n=3, je pense qu'elle est vraie tout le temps, et encore une fois, je vois pas mon erreur si elle est fausse
Ya clairement débat, je ne vois pour le moment pas l'erreur et pourtant un des deux raisonnements est faux (un cas tordu oublié sans doute)
Edit : bon bin ca y est tu as réparé les maths (j'étais en train de refaire ton calcul donc je ne cherchais pas au bon endroit)
Jeremie dit:grolapinos dit:C'est clair, y'a un truc qui chie quelque part... Parce que ma formule est vraie pour n=2 et n=3, je pense qu'elle est vraie tout le temps, et encore une fois, je vois pas mon erreur si elle est fausse
Ya clairement débat, je ne vois pour le moment pas l'erreur et pourtant un des deux raisonnements est faux (un cas tordu oublié sans doute)
Fait au dessus.
Bon lapinos gagne quand même après rebondissement et avant le ramassage des copies 
Edit : bon maintenant même question avec k cases à noircir 
Jeremie dit:Bon lapinos gagne quand même après rebondissement et avant le ramassage des copies
Je ne sais pas si je gagne parce que je ne me bats pas, mais je t'accorde la palme de la méthode la plus élégante, même si elle ne permet pas de se débarrasser complètement de la disjonction de cas (ce qui semble finalement un peu évident).
grolap', modeste prof, qui ne va pas se battre contre un chercheur.
Jeremie dit:Bon lapinos gagne quand même après rebondissement et avant le ramassage des copies
Edit : bon maintenant même question avec k cases à noircir
Je pense qu'on rentre dans le domaine des vrais trucs difficiles là. Ça commence à ressembler à une saloperie de problème de percolation.
Je passe mon tour pour ce matin
Je ne suis pas certain que cela soit vraiment plus élégant car la disjonction n’est pas franchement plus facile à traiter (la preuve on a tourné avant de résoudre).
Pour le reste je sais bien que ce n’est pas une compétition, mais tu as été plus efficace quand même 
Edit oui avec k cases je ne mettrais pas le doigt dedans sauf en simulation… Encore que k=3 parait raisonnable. Je ne vois pas du tout comment sortir des dénombrements classiques et vite horrRrrribles.
Edit : et le modeste prof a quand même une thèse en math fonda non ? Mon domaine de recherche c’est plus appliqué (machine learning, c’est entre les maths et l’info)
Clairement, tu peux oublier la formule close dans le cas général. Même pour k=3, je tente pas le coup.
Et ma thèse, c’est une thèse de probas figure-toi Mais plutôt dans les processus continus et le calcul stochastique pour prouver des théorèmes-limite avec des méthodes d’EDP.
Là, c’est de la combinatoire, donc carrément beaucoup plus dans le domaine de l’info que dans le mien finalement.
Marrant comme on a des idées fausses des domaines des autres, je crois bien n’avoir jamais traité de problèmes de combinatoire en recherche (en fait je demande un peu qui bosse encore sur ces sujets).
processus continus, TCL et EDP, fallait aller dans la finance plutôt que prof , mais clairement on a des cultures mathématiques pas si éloignées.