Aller, un petit calcul de proba sur une énigme plus ou moins connue…
J’ai un jeu de 32 cartes. Il y 16 cartes rouges et 16 cartes noires. Je vais les retourner, une à une, sur la table devant vous.
A tout moment, vous pouvez m’arrêter. Je retournerai alors la carte suivante : si elle est rouge, vous gagnez. Si elle est noire, vous perdez.
On considère que si vous me laissez aller jusqu’à la dernière carte, vous gagnez si elle est rouge et perdez si elle est noire.
Question : Quelle est la meilleure stratégie (ou les meilleures stratégies) ? Quelle est votre probabilité de gain en suivant cette stratégie ?
(Pas de recherche internet sur ce problème, bien sûr).
Hum
si j’ai bien compris tu retournes les cartes les unes après les autres et on voit celles que tu écartes de cette manières?
Si c’est comme ça je t arrete des que dans le compte des cartes sur la table je passe a plus de 50% de chance c’est a dire plus de noir sur la table que de rouge
[Edit]
Alta dit:Hum
si j'ai bien compris tu retournes les cartes les unes après les autres et on voit celles que tu écartes de cette manières?
Si c'est comme ça je t arrete des que dans le compte des cartes sur la table je passe a plus de 50% de chance c'est a dire plus de noir sur la table que de rouge
D'accord. Et quelle est la probabilité que tu gagne en suivant cette stratégie ?
J'ai peur que ce ne soit pas supérieur à 50%, héhé...
ben deja si tu retourne une carte noire a la premiere carte et que je te dis j’arrete je suis deja a plus de 50% (de pas beaucoup certes mais c’est toujours ca de ramasser sur le long terme)
au pire si jamais il ya toujours plus de rouge que de noir j’attend jusque la fin c’est normalement du 50% dans ce cas la et on recommence. Sur une infinité de tirage je suis forcement gagnant ou me trompe je 
Alta dit:ben deja si tu retourne une carte noire a la premiere carte et que je te dis j'arrete je suis deja a plus de 50% (de pas beaucoup certes mais c'est toujours ca de ramasser sur le long terme)
au pire si jamais il ya toujours plus de rouge que de noir j'attend jusque la fin c'est normalement du 50% dans ce cas la et on recommence. Sur une infinité de tirage je suis forcement gagnant ou me trompe je
Toute l'astuce de cette énigme, c'est que tu trompe.
En fait, ta stratégie te permet de gagner une fois sur deux. Si si.
Je te demande donc de me montrer, par un raisonnement quelconque, que tu gagne une fois sur deux avec cette stratégie, et quel n'est pas donc pas meilleur que de dire "stop" dès la première carte.
Pour t'aider, tu peut raisonner sur un jeu de 4 cartes.
Simboubou dit:
Toute l'astuce de cette énigme, c'est que tu trompe.
En fait, ta stratégie te permet de gagner une fois sur deux. Si si.
Démontre moi que ma stratégie fait 1/2
je viens de faire les cas et en effet ca fait 1/2
Très interessant
Bonjour,
J’avais un peu pensé comme Alta, mais non content de mon raisonnement purement instinctif, je me suis abstenu.
Disons que la répartition des cartes dans le paquet de 32 cartes n’est à priori pas uniforme. On en peut pas forcément considérer que les couleurs sont réparties uniformément tout au long du paquet. On a la seule certitude d’avoir le même nombre de rouges et de noires.
Donc, si la première retournée est noire, je dis stop, et on retourne la suivante avec plus de 50% de chance de gagner. Si ce n’est pas le cas, je laisse retrouner gentiment jusqu’à ce que les noires prennent le dessus, et annonce alors stop, pour laisser retourner la suivante.
Bref, bonne combine, mais au fur et à mesure que j’écris, j’imagine que c’est boiteux puisque ce que je gagne statistiquement ne compense pas la répartition hasardeuse des cartes dans le paquet. Je peux donc me retrouver avec une répartition où les cartes rouges sont en majorité au début du paquet, ce qui n’est plus compensé jusqu’à la fin…
Dans ce cas-là, un bourre-pif au croupier et on gagne tout de suite. Non mais ! Salutations ludiques.
Docky
Eh oui, la stratégie du “j’attends qu’il y a une majorité de rouges restantes” ne permet de gagner qu’une fois sur deux. Il ne faut pas confondre la probabilité de gagner et la probabilité de gagner au moment ou il reste plus de rouge que de noir.
En faisant les cas sur un jeux de 4 cartes, on constate que l’on ne gagne qu’une fois sur deux :
r r n N
r n r N
r n n R
n N r r
n R n r
n R r n
En majuscule, la carte sur laquelle on dit “stop”. On voit bien que l’on ne gagne qu’une fois sur deux avec un jeu de 4 cartes…
Et ce sera pareil avec un jeu de 32.
Un autre idée de stratégie avant que vous donne l’étape suivante de l’énigme ?
Car ce n’est pas fini !
Docky dit:
Bref, bonne combine, mais au fur et à mesure que j'écris, j'imagine que c'est boiteux puisque ce que je gagne statistiquement ne compense pas la répartition hasardeuse des cartes dans le paquet. Je peux donc me retrouver avec une répartition où les cartes rouges sont en majorité au début du paquet, ce qui n'est plus compensé jusqu'à la fin...
Dans ce cas-là, un bourre-pif au croupier et on gagne tout de suite. Non mais ! Salutations ludiques.
Docky
C'est exactement ça ce que tu gagnes avec des arrangements favorables tu le perds en l'équivalent défavorables
je veux bien la suite du probleme
J’avoue que j’ai aucune idée de la solution mais ça m’intéresse.
Donc cette stratégie, ne permet pas d’obtenir un meilleur gain. On l’aurait jurée, pourtant…
Le truc, c’est que l’on peut appliquer le même raisonnement à la stratégie inverse : :“j’attends qu’il y ai une minorité de rouge pour dire stop”. On pourrait croire que cette stratégie est mauvaise, et pourtant elle permet de gagner une fois sur deux…
Et on peut aller encore plus loin :
- En vérité, il n’existe AUCUNE stratégie permettant d’obtenir une proba meilleurs que 1/2.
- Il en découle logiquement qu’il n’existe aucune stratégie permettant d’obtenir un gain inférieur à 1/2 (puisque c’est le même problème dans l’autre sens).
Autrement dit : Toute stratégie, quelle qu’elle soit, a une probabilité de gain de 1/2… Dingue non ? On aurait pourtant cru que le fait de voir les cartes retournées au fur et à mesure aurait permis de faire mieux que 1/2.
J’aimerais donc que quelqu’un me propose une démonstration intuitive (pas la peine de partir dans des grands dénombrements rigoureux) de cette affirmation… 
Si j’attends l’antepenultieme, 29 cartes ont été retournées, il en reste 3.
Soit elles sont toutes de la meme couleur, facile a deviner, soit il y en a deux d’une couleur et une de l’autre. 2 chance sur 3, ce qui est mieux que 1/2.
Non, tu ne peut que dire “stop”, et à ce moment on vérifie si la prochaine est ROUGE. Ce n’est pas toi qui décide de la couleur sur laquelle tu mise. Sinon, effectivement, ce serait mieux que 50%.
Si la carte suivante est cornée, je dis stop, sinon, je continue.
Comme j’ai corné toutes les rouges, je gagne à chaque fois.
Autre possibilité : je pèse la carte suivante. L’encre noire est plus lourde que la rouge, je peux donc savoir ce qui va arriver.
Keiyan, solutions débiles.
je compte les noires, dès que y’en a 16 de sorties, je dis stop, 
Nighteye dit:je compte les noires, dès que y'en a 16 de sorties, je dis stop,
Le 50% est plus facile à démontrer dans ce cas là.
J’ai trouvé une démonstration du fait que quel que soit le nombre de cartes dans le paquet, n’importe quelle stratégie assure un taux de victoires égal au taux de cartes rouges dans le paquet.
La démonstration se fait par récurrence sur le nombre de cartes dans le paquet.
Initialisation : Pour un paquet d’une seule carte, le résultat est évident.
Hérédité : Supposons que l’on ait montré que pour un paquet de n cartes, n’importe quelle stratégie assure un taux de victoires égal au taux de cartes rouges dans le paquet. Prenons maintenant un paquet de n+1 cartes et considérons une stratégie sur ce paquet.
1) si la stratégie préconise de choisir la première carte du paquet, alors le résultat est évident.
2) si la stratégie préconise de ne pas choisir la première carte du paquet, alors on la retourne et…
a) c’est une carte rouge avec une probabilité de r/(n+1), où r désigne le nombre de cartes rouges dans le paquet de n+1 cartes, et dans ce cas, d’après l’hypothèse de récurrence, la stratégie que l’on va employer sur le paquet de n cartes restantes va nous assurer un taux de victoires de (r-1)/n.
b) c’est une carte noire avec une probabilité de (n+1-r)/(n+1), et dans ce cas, d’après l’hypothèse de récurrence, la stratégie que l’on va employer sur le paquet de n cartes restantes va nous assurer un taux de victoires de r/n.
Finalement, le taux de victoires dans le cas où l’on ne choisit pas la première carte est égal à r/(n+1)*(r-1)/n + (n+1-r)/(n+1)*r/n, ce qui est égal à r/(n+1), le taux de cartes rouges dans le paquet de n+1 cartes.
Dans tous les cas, quelle que soit la stratégie choisie, le taux de victoires est égal au taux de cartes rouges sur le paquet de n+1 cartes, ce qui prouve l’hérédité et finit la démonstration.
Dans le cas particulier où il y a autant de cartes rouges que de noires, cela montre que n’importe quelle stratégie assure un taux de 50% de victoires.
Je vais essayer de trouver la démonstration “simple” dont tu parles. Pour l’instant je sèche…
Simboubou dit:Non, tu ne peut que dire "stop", et à ce moment on vérifie si la prochaine est ROUGE. Ce n'est pas toi qui décide de la couleur sur laquelle tu mise. Sinon, effectivement, ce serait mieux que 50%.
Ok, je n'avais pas pigé le jeu.