Voici une petite énigme que j'ai lue. Elle n'est pas extrèmement matheuse, mais tout de même loin d'être évidente:
Est-il possible d'exprimer 1 comme une somme de fractions, dont le développement décimal ne comporte que les chiffres 0 et 7 ? Si oui, combien de fractions faut-il au minimum ?
Rassurez-vous, ca ne fait intervenir aucune connaissance de niveau supérieur au collège.
Étienne
P.S. Je n'ai malheureusement pas assez d'imagimation pour broder une histoire autour, délsolé...
Tu veux dire que, par exemple, 1 = a/b + c/d
avec a/b = 0,X et c/d = 0,Y
où X et Y sont des nombres uniquement constitués de 0 et de 7, c'est bien ça ?
C'est ca, mais X et Y peuvent être périodiques, par exemple 0,700700700700...
Étienne
Bon ben j'essaye :
Soit une somme de fractions. La dernière décimale de la somme doit être égale à 0 (pour que le total soit 1). Cette dernière décimale est égale à m x 7 + n x 1.
On essaye de minimiser m + n et on obtient facilement m=1 n=3.
Donc pour obtenir 1 il faut au minimum 4 fractions dont 1 qui se termine par 7 comme décimale et 3 par 1.
On a 7/10 + 1/10 + 1/10 + 1/10 ...
Voilà.
Laurent
Traulen dit:
Donc pour obtenir 1 il faut au minimum 4 fractions dont 1 qui se termine par 7 comme décimale et 3 par 1.
Malheureusement, le 1 est interdit, seuls sont autorisés 0 et 7...
De plus, le raisonnement au départ était faux, puisque 0,9999999... est ÉGAL à 1
7 / 7 ?
EtienneS dit:
De plus, le raisonnement au départ était faux, puisque 0,9999999... est ÉGAL à 1
Soit j'ai jamais rien compris au maths, soit il y a un problème. Comment 0,99999999999.... peut être égal à 1 ?
deepdelver dit:Soit j'ai jamais rien compris au maths, soit il y a un problème. Comment 0,99999999999.... peut être égal à 1 ?
C'est un classique celui-là... 0,99999.... et 1 sont deux écritures du même nombre, de la même façon que 2 et racine(4) sont deux écritures du même nombre. C'est pas intuitif, mais un petit coup de Google te donnera toutes les démonstrations voulues...
bloodyraoul dit::arrow 7 / 7 ?
C'est pas ca : 7/7 peut s'écrire soit 1,000 (contient un "1"), soit 0,999.. (contient des 9)
Indice :
la méthode de Traulen peut aboutir à un résultat, en prenant 0,99999...
Étienne
J'ai mal lu l'énoncé.... effectivement avec des 0 et pas de 1 c'est plus sympa...
deepdelver dit:
Soit j'ai jamais rien compris au maths, soit il y a un problème. Comment 0,99999999999.... peut être égal à 1 ?
C'est effectivement un peu contraire à l'intuition, mais voici deux démonstartions :
1.
Soit X = 0,99999...
Alors 10 X = 9,999999... = X+9
Or l'équation 10x=x+9 n'a qu'une seule solution ... 1 !!
2.
Considérons 1/9 = 0,11111..
Alors 9 x 1/9 = 0,99999... = 9/9 =1
Des deux, je préfère nettement la première preuve.
Étienne
EtienneS dit:deepdelver dit:
Soit j'ai jamais rien compris au maths, soit il y a un problème. Comment 0,99999999999.... peut être égal à 1 ?
C'est effectivement un peu contraire à l'intuition, mais voici deux démonstartions :
1.
Soit X = 0,99999...
Alors 10 X = 9,999999... = X+9
Or l'équation 10x=x+9 n'a qu'une seule solution ... 1 !!
2.
Considérons 1/9 = 0,11111..
Alors 9 x 1/9 = 0,99999... = 9/9 =1
Des deux, je préfère nettement la première preuve.
Étienne
Merci Arthemix pour le
mais c'est vrai que ça fait bizarre.
et 7/70 + 7/70 +7/70 +7/70 +7/70 +7/70 +7/70 +7/70 + 7/70 + 7/70 = 1
non?
cette démonstration ne tient pas la route.
1 n'est pas égal à 0,9999999...
si x= 0,999999...9 (à l'infini)
10x= 9,99999.....0 (à l'infini)
et donc 10x n'est pas égal à x+9
ah non le coup du developpement décimal, mince
c'est genre 9/10 + 9/10 .. 10 fois et ça fait 1 c ca? 
Jesuska dit:et 7/70 + 7/70 +7/70 +7/70 +7/70 +7/70 +7/70 +7/70 + 7/70 + 7/70 = 1
non?
Si, mais 7/70 = 0,1 , et "1" est interdit dans le développement décimal (pas dans la représentation fractionnelle)
Étienne
ah oui mais que des 7 et des 0
ben alors 0.000000000....0000000000007 * 15000000000000000... = a peu près 1 ..c ca ou pas!
Jesuska dit:ah non le coup du developpement décimal, mince
c'est genre 9/10 + 9/10 .. 10 fois et ça fait 1 c ca?
Ca, ça peut pas marcher, Jesuska.
ouais à cause des 7 déja alors..
Jesuska dit:ah oui mais que des 7 et des 0
ben alors 0.000000000....0000000000007 * 15000000000000000... = a peu près 1 ..c ca ou pas!
ou pas..