Simboubou dit:Est ce que l'opérateur réécris dans les enveloppes à chaque fois ?
Oui, et pour simplifier, il réécrit à chaque fois les mêmes sommes selon les règles précitées.
Simboubou dit:En sachant ça, quand tu ouvre la première enveloppe et que tu trouve 100€ (comme dit quelques messages avant cet échange), tu a effectivement une chance sur deux que l'autre enveloppe contiennt 50, et une sur deux qu'elle contienne 200. Et donc, il faut changer. Oui.
Hourra ! Je n'en demandais pas tant.
Simboubou dit:Et là, tu va sans doute dire "Je ne peux pas tout préciser ! Implicitement, il est évident que l'on considère que toutes les répartions X/2X sont équiprobables. De la même façon, sans info sur une pièce de monnaie, on considère qu'elle est équiprobable".
Donne-moi alors un exemple précis avec 2 enveloppes et 2 sommes, pour lesquelles ce que tu admets enfin plus haut ne se vérifie pas.
Simboubou dit:Et c'est LA que tu te trompe. IL EST IMPOSSIBLE QUE TOUTES LES REPARTIONS X/2X IMAGINABLES SOIENT EQUIPROBABLES. Pourquoi ? Parceque dans ce cas, soit p la probabilité de n'importe quel X/2X (p est donc constant, puisqu'on est dans l'équiprobable). Or, il y a une infinité de répartions possibles. Et comme toute ces répartitions corresponde à des événement disjoint, la probabilité de l'union des répartition serait donc égale à p+p+p+p+p+p.... à l'infini. Le problème, c'est que cette somme ne converge pas vers 1, comme il le faudrait pour avoir une loi de probabilité. Cette somme diverge, vers l'infini.
Mais les répartitions équiprobables dont je m'entretiens depuis bien longtemps déjà, ne sont pas toutes les sommes possibles et imaginables dans les enveloppes allant de 0 à l'infini. Non, non. Donc aucun intérêt à additionner p+p+p+p+p... Pour ma part, je me suis contenté d'affirmer que je ne vois pas en quoi je devrais penser quand je découvre 100 euros dans la 1e enveloppe, que la seconde a bien plus de chance de correspondre à 50 euros qu'à 200 euros, par exemple. Dans mon cas, j'affirme, à tort, c'est bien connu, que p+p tend vers 1 et s'approche de 0,5+0,5.
Et pour conclure sur mes estimations pour ma petite expérience, je serais effectivement très surpris que vous ayez une des 2 colonnes représentant le double de l'autre. Vous vous approcherez à priori plutôt du 50/50. Et pour confirmer, le renouvellement de l'expérience devrait être plus ou moins similaire...
titoufred dit:Docky, effectivement on va arriver à des valeurs sensiblement égales pour les moyennes des colonnes "première enveloppe" et "deuxième enveloppe".
Merci pour ta franchise, on est par conséquent loin du 0 ou 1 annoncé par Simboudou pour la probabilité de N/2 dans la seconde enveloppe. Et on se rapproche du 50/50, ce que j'affirme haut et fort depuis quelques temps déjà. Tu comprendras donc peut-être que ton affirmation suivante m'a parue incongrue : "D'autre part, ce n'est pas parce qu'une quantité nous est inconnue qu'elle suit une quelconque loi de probabilité. C'est un leurre. Allez, je balance un gros pavé : la théorie des probabilités ne peut tout simplement pas s'appliquer à cette énigme."
titoufred dit:Tu es donc bien d'accord avec le fait qu'abandonner la première enveloppe pour la deuxième ne te fait pas espérer gagner plus ?
Oui, dans les faits, dans la pratique, je te donne raison. C'est la raison pour laquelle j'avais annoncé précédemment, peut-être gauchement, peut-être avec un terme inaproprié, que l'espérance de 1,25 fois la mise est seulement à considérer "au plan strictement statistique".
titoufred dit:Simboubou, tu t'égares... N'oublie pas que l'on peut modéliser certains problèmes par des lois de probabilité continues. Par exemple, la loi équirépartie sur l'intervalle [0;1] est définie par P(X < a) = a.
Mince. Pourtant, il me semblait que mon message était bien. Pourtant, il n'y a pas de loi de proba qui sur les répartitions qui nous permettrait de toujours dire "une chance sur deux", si ? A quelle moment j'ai dit une bêtise ?
titoufred dit:D'autre part, ce n'est pas parce qu'une quantité nous est inconnue qu'elle suit une quelconque loi de probabilité. C'est un leurre. Allez, je balance un gros pavé : la théorie des probabilités ne peut tout simplement pas s'appliquer à cette énigme.
C'est vrai. Mais cela ne pose pas de problème pour cette énigme puisque : on a pas besoin d'affirmer que X suis une loi de proba quelconque, on a juste besoin de remarquer qu'il est impossible qu'il suivent une loi de proba rendant le raisonnement du "Une chance sur deux, espérance 1.25" correct. Non ? Et du coup, on ne dispose pas des données nécessaires pour appliquer la théorie des proba, puisque qu'il est de formaliser l'énoncé en proba. Là, je suis d'accord.
titoufred dit:Tu es donc bien d'accord avec le fait qu'abandonner la première enveloppe pour la deuxième ne te fait pas espérer gagner plus ?
Oui, dans les faits, dans la pratique, je te donne raison. C'est la raison pour laquelle j'avais annoncé précédemment, peut-être gauchement, peut-être avec un terme inaproprié, que l'espérance de 1,25 fois la mise est seulement à considérer "au plan strictement statistique".
Justement non. Pour te dire à chaque fois "il y a N dans l'enveloppe, l'autre contient N/2 ou 2N avec une chance sur deux", tu doit faire implicitement une hypothèse d'équiprobabilité sur l'infinité des répartitions possibles, mais cette hypothèse ne peut pas être vraie. Tient, j'ai réussi à retrouver une explication de Jean Paul Delahayes J'aime bien les articles de Jean Paul Delahaye.
J.P. Delahaye dit:L’erreur provient du fait qu’on calcule en utilisant la variable Y correspondant au contenu de mon enveloppe et qu’on considère que ce Y est fixe dans les deux cas, ce qui n’est pas vrai. Le bon raisonnement consiste à dire : il y a deux possibilités (cas 1) A contient X et B contient 2X et (cas 2) A contient 2X et B contient X. L’espérance de contenu de l’enveloppe A est X.1/2 + (2X).1/2 = 3/2.X . L’espérance de contenu de l’enveloppe B est (2X).1/2 + X.1/2 = 3/2.X . L’espérance associée à B est donc la même que celle associée à A et donc je n’ai pas d’intérêt particulier à changer mon choix initial.
Docky dit:Les probabiblités, je pensais les avoir dévoilées en affirmant qu'une enveloppe contient le double de l'autre. Ceci sous-entendait que les 2 enveloppes sont indissociables l'une de l'autre dans leur apparence, leur poids, etc...
Justement non ce n'est pas suffisant, ça dépend comment on fait pour mettre dans une enveloppe le double de l'autre.
@Dorky : Imaginons que l’on a ouvert le première enveloppe et que l’on y découvre 100€. Les deux propositions suivantes sont alors contradictoires :
Proposition 1 : “Il n’y a aucun intérêt à échanger la première enveloppe contre la deuxième”
Proposition 2 : “Il y a une chance sur deux que la deuxième enveloppe contienne 50€ et une chance sur deux qu’elle contienne 200€”.
En effet, comme tu l’as toi-même dit, la proposition 2 implique que l’espérance de la somme contenue dans la deuxième enveloppe est de 125€, et donc que l’on a intérêt a échanger la première enveloppe contre la deuxième.
Tu ne peux donc pas à la fois soutenir la proposition 1 et la proposition 2.
Merci Simboudou pour ton explication de Delahaye, qui est pour moi enfin l’approche concrète et intelligible qui me manquait. J’ai encore du mal à apprivoiser ce point de vue, mais je comprends enfin l’idée consistant à ne pas prendre l’enveloppe 1 comme début de réflexion, mais en élaborant une certaine interdépendance entre les 2 enveloppes. Du coup, on a X et 2X, ou 2X et X, et pas X puis ensuite 2X ou X/2. Intéressant, sans aucun doute.
On aurait pu commencer par cela. Je vous aurais évité ma lassitude et mon léger agacement. Vous m’auriez évité ma très courte nuit, puisque j’ai fait aujourd’hui 600km pour me rendre en vacances. J’étais loin d’être frais au volant. Et vous avez occupé mon esprit pendant une grande partie de la route, malgré mon éloignement du clavier.
Merci Tyrion pour les documents que tu proposes et qui ne sont pas moins intéressants. Merci Titoufred, pour ta persévérance et ta disponibilité, même s’il m’a parfois fallu quelques efforts pour comprendre l’expression de tes idées.
Pour répondre à ta dernière question, si la proposition consistant à affirmer qu’il n’y a aucun intérêt à changer la 1e enveloppe contre la 2e est juste, je pense qu’il n’y a pas non plus d’inconvénient à le faire. Dans le doute, je change quand même.
P.S. Prochaine étape pour moi, la phase de tests en série avec l’aide d’excel. 15000 lignes devraient suffire…
Docky, ça fait plaisir que tu aies pu saisir le raisonnement de Delahaye. Ne t’inquiète pas, des mathématiciens professionnels comme M. Paul Franceschi de l’Université de Corse, ont écrit de bien belles bêtises à propos du paradoxe des 2 enveloppes (http://philsci-archive.pitt.edu/3305/1/env2.pdf). Ne le lis surtout pas, c’est truffé d’erreurs !
Simboubou, pourquoi dis-tu que le montant de la plus petite enveloppe est une variable aléatoire X suivant une certaine loi de probabilité ? Qu’est-ce que ça veut dire pour toi ? Considères-tu qu’il y a une infinité de valeurs possibles pour X ?
Simboubou, ce que je voulais te dire c’est que j’ai l’impression que ta modélisation présuppose qu’il n’y a qu’une infinité dénombrable de valeurs qui peuvent être prises. Et je ne vois pas comment tu justifies cela.
titoufred dit:Simboubou, ce que je voulais te dire c'est que j'ai l'impression que ta modélisation présuppose qu'il n'y a qu'une infinité dénombrable de valeurs qui peuvent être prises. Et je ne vois pas comment tu justifies cela.
Quel message, à quel endroit ? J'ai dit tellement de choses...
Bah en gros tous les messages où tu fais des calculs avec des probas conditionnelles et où tu montres que le cas où c’est tout le temps équiprobable est impossible. Je suppose que ton modèle pour X c’est une distribution sur une infinité dénombrable de valeurs non ?
Heu… tu parle de de deux message différents, là, non ?
Il faut garder à l’esprit que mes explication ont évoluées au fur et à mesure que ma compréhension du problème s’améliorait.
Pour ce qui est du passage où j’ai écrit : “p+p+p+p+p…”, c’est vrai que j’avais conscience, en l’écrivant, d’avancer en terrain miné, c’est à dire qu’il faut que ce soit dénombrable. Mais Docky avait aussi écrit que X étaient au centime près quelque part, non ? Si c’est au centime près, on est bien dans du dénombrable, non ?
Si X n’est pas au centime près mais bien à valeur Réelles positives, alors on doit pouvoir dire que l’intégrale de 0 à l’infinie d’une valeur constante n’est pas fini, si ?
Par contre si X est borné des deux cotés, là il y a moyen de savoir vraiment si on doit changer d’enveloppe ou pas.
Dans l’énoncé initial, il n’est rien précisé sur les sommes, c’est pour ça que je ne pense pas qu’on puisse considérer que X ne peut prendre qu’une infinité dénombrable de valeurs.
Maintenant, si on précise l’énoncé en se restreignant aux valeurs avec des centimes, on change complètement le problème : par exemple, une enveloppe contenant une somme avec un nombre de impair de centimes est forcément la mauvaise enveloppe.
Désolé si ça a déjà été posté dans le thread, je n’ai pas tout lu. Indépendamment de la distribution des sommes, il est faux de croire qu’il est plus avantageux de toujours choisir la deuxième enveloppe.
Votre raisonnement abouttissant à 1.5 confond:
- E[X/Y] = 1.5 (ce qui est le cas dans l’énigme) - E[X]/E[Y] = 1.5 (auquel cas il est plus avantageux de choisir la deuxième enveloppe).
Il est notamment tout à fait possible d’avoir deux variables aléatoires X et Y telles que - E[X/Y] = 1.5 - E[Y/X] = 1.5
Je pense qu’il y a quelque part un biais mathématique, ou encore une erreur dans vos raisonnement qui laisse croire qu’il peut y avoir une stratégie dans un “jeu” pour lequel on a aucune maitrise.
vous avez devant vous 2 enveloppes, Lorsque je choisis la première, j’ai 50% de chance d’avoir pris la plus grande valeur. Vu que je sais que l’une contient le double de l’autre, mon espérance de gain en prenant la seconde est donc meilleur. Je pense que l’erreur de raisonnement est là.
Car à la fin, en choississant la deuxième comme la première, on a bien 50% de chance d’avoir fait le “bon choix”
Pour conclure, il n’y a pas de stratégie gagnante, dans un tel jeu, tu as une chance sur deux de choisir la bonne enveloppe.
Lucco dit:remarques: je n'ai pas tout lu Je pense qu'il y a quelque part un biais mathématique, ou encore une erreur dans vos raisonnement qui laisse croire qu'il peut y avoir une stratégie dans un "jeu" pour lequel on a aucune maitrise. vous avez devant vous 2 enveloppes, Lorsque je choisis la première, j'ai 50% de chance d'avoir pris la plus grande valeur. Vu que je sais que l'une contient le double de l'autre, mon espérance de gain en prenant la seconde est donc meilleur. Je pense que l'erreur de raisonnement est là. Car à la fin, en choississant la deuxième comme la première, on a bien 50% de chance d'avoir fait le "bon choix" Pour conclure, il n'y a pas de stratégie gagnante, dans un tel jeu, tu as une chance sur deux de choisir la bonne enveloppe.
Si tu n'as pas tout lu, je résume : certains (dont moi), on fait l'erreur. Puis d'autres ont expliqué l'erreur. Le ton est monté, j'ai compris mon erreur mais une autre personne a eu beaucoup plus de mal à comprendre. On a passé une nuit dessus, et maintenant le débat est terminé : tout le monde à capté pourquoi le raisonnement du "il faut changer d'enveloppe" ne tient pas. Ce fut tendu, mais c'est bon.
Je pense que David Madore écrit quelques bêtises en ce qui concerne le paradoxe des 2 enveloppes. Le procédé utilisé est, je cite :
"Le second joueur emploie alors la méthode suivante : il tire au hasard un nombre réel x0 suivant une loi, disons, Gaussienne (la seule condition étant que x0 a une probabilité strictement positive de se trouver dans un intervalle non trivial donné quelconque)."
Je pense que cette phrase n'a pas de sens. En effet, comment fait-on pour tirer un nombre au hasard sur un ensemble infini ?
J’arrive après la bataille… Il y a déjà eu plusieurs sujets dans ce forum sur la question, je ne remets juste pas la main dessus. Globalement, la bonne réponse au paradoxe est effectivement que supposer que, quel que soit le choix effectué, il y a une chance sur deux d’avoir le double ou la moitié, induit l’existence une loi de probabilité uniforme sur un ensemble infini dénombrable, ce qui est impossible (je parle aux spécialistes là, mais j’ai vu qu’il y en avait). Il est difficile de donner une explication vulgarisée, mais certains l’ont fait et mieux que je ne le ferai jamais, voir les pages citées dans le sujet.
Pour ce qui est de la question de titoufred, je pense que tu n’as presque aucune connaissance sur les probabilités (ce n’est pas une critique ni une moquerie mais un constat). Pour essayer de te répondre, je dirais que :
-dans la pratique, on ne choisit jamais dans un ensemble infini puisqu’on ne dispose jamais d’un ensemble infini ; -en théorie, il existe des modèle mathématiques très propres permettant de définir des distributions de probabilité sur des ensembles infinis.
Concernant ce second point, ces modèles ne constituent pas une trituration sans intérêt de l’esprit, puisqu’ils sont parfaitement applicables à des situations concrètes où l’hypothèse d’un choix parmi un ensemble infini est une approximation raisonnable. Un exemple simple : la taille d’une personne quelconque prise dans une population peut être considérée comme une quantité aléatoire pouvant prendre une infinité de valeurs.
Et ça fait longtemps que je ne suis pas allé sur la page de David Madore, mais quand il s’agit de maths, il est important de souligner qu’il ne dit jamais de bêtises
