Grolapinos, je sais bien qu'il existe des modèles probabilistes sur des ensembles infinis. J'en parle quelques posts plus haut, que ce soit du modèle dénombrable/discret ou du modèle continu. Je ne remets pas en cause ces modèles.
Ce que je remets en cause, c'est la solution proposée par Madore dans ce cas précis du jeu des 2 enveloppes (cette solution est basée sur un article de Blackwell). Je trouve qu'il y a un manque de réflexion sur les transitions théorie/réalité.
Le problème est présenté comme un problème concret et non un problème de théorie mathématique. On ne peut pas prétendre se placer ici sur un point de vue uniquement théorique. Je réitère donc ma critique/question :
que signifie, selon toi, la phrase "Le second joueur emploie alors la méthode suivante : il tire au hasard un nombre réel x0 suivant une loi, disons, Gaussienne (la seule condition étant que x0 a une probabilité strictement positive de se trouver dans un intervalle non trivial donné quelconque)." ?
titoufred dit:Le problème est présenté comme un problème concret et non un problème de théorie mathématique. On ne peut pas prétendre se placer ici sur un point de vue uniquement théorique.
C'est vrai... sauf que pour lever le paradoxe apparent, il faut bien, d'une façon ou d'une autre, le théoriser. C'est plus ou moins l'objet de la théorie des probabilités, en fait.
titoufred dit:que signifie, selon toi, la phrase "Le second joueur emploie alors la méthode suivante : il tire au hasard un nombre réel x0 suivant une loi, disons, Gaussienne (la seule condition étant que x0 a une probabilité strictement positive de se trouver dans un intervalle non trivial donné quelconque)." ?
J'avoue que je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas en fait... Il propose de fixer un seuil arbitraire, et en langage mathématique, il suggère donc de munir les réels d'une loi de probabilité absolument continue quelconque, par exemple gaussienne.
Maintenant, il est vrai que c'est "trop" théorique, puisque les sommes en jeu sont nécessairement décimales, et même généralement entières, le seuil fixé par une personne normale sera nécessairement entière. Il propose une autre approche dans ce cas plus bas.
Je comprend Titoufred : comment, en pratique, tu tire un nombre réel suivant une loi gaussienne ?
titoufred dit:
que signifie, selon toi, la phrase "Le second joueur emploie alors la méthode suivante : il tire au hasard un nombre réel x0 suivant une loi, disons, Gaussienne (la seule condition étant que x0 a une probabilité strictement positive de se trouver dans un intervalle non trivial donné quelconque)." ?
Pour tirer un nombre d'une loi gaussienne, je vais tirer un nombre selon une loi uniforme dans [0, 1] puis je vais transformer ce nombre par l'inverse de la cumulative de la gaussienne. Comment dois-je tirer d'une uniforme dans [0,1] sachant que je n'ai qu'un temps fini ? Bonne question.
Je prends une pièce de monnaie et je vais tirer à pile ou face pour avoir les décimales du nombre (je tire le nombre en binaire et je le transforme en décimal, c'est plus simple). Bien sûr, il me faut une infinité de tirages pour avoir le nombre exact. En revanche, je n'ai pas besoin du nombre exact tant que je suis certain de sa relation au montant dans l'enveloppe. Si je n'en suis pas certain, je relance ma pièce pour ajouter des décimales et ce en nombre fini.
Exemple: supposons que Pile = 0 et Face = 1. Appelons f l'inverse de la cumulative de la gaussienne.
Je tire une fois ma pièce et tombe sur pile. Mon seuil est donc (en binaire) f(0,0 ....) qui est compris entre -infini et f(0,1).
Si le montant dans l'enveloppe est supérieur à f(0,1), je garde l'enveloppe, pas besoin d'aller plus loin. Sinon, je retire ma pièce et retombe sur pile. Mon seuil devient f(0,00 ...) et je peux en déduire ma stratégie pour tous les montants supérieurs à f(0, 01), ce qui est mieux qu'avant.
Est-ce assez clair ? J'ai comme un doute, là.
genji dit:titoufred dit:
que signifie, selon toi, la phrase "Le second joueur emploie alors la méthode suivante : il tire au hasard un nombre réel x0 suivant une loi, disons, Gaussienne (la seule condition étant que x0 a une probabilité strictement positive de se trouver dans un intervalle non trivial donné quelconque)." ?
Pour tirer un nombre d'une loi gaussienne, je vais tirer un nombre selon une loi uniforme dans [0, 1] puis je vais transformer ce nombre par l'inverse de la cumulative de la gaussienne. Comment dois-je tirer d'une uniforme dans [0,1] sachant que je n'ai qu'un temps fini ? Bonne question.
Je prends une pièce de monnaie et je vais tirer à pile ou face pour avoir les décimales du nombre (je tire le nombre en binaire et je le transforme en décimal, c'est plus simple). Bien sûr, il me faut une infinité de tirages pour avoir le nombre exact. En revanche, je n'ai pas besoin du nombre exact tant que je suis certain de sa relation au montant dans l'enveloppe. Si je n'en suis pas certain, je relance ma pièce pour ajouter des décimales et ce en nombre fini.
Exemple: supposons que Pile = 0 et Face = 1. Appelons f l'inverse de la cumulative de la gaussienne.
Je tire une fois ma pièce et tombe sur pile. Mon seuil est donc (en binaire) f(0,0 ....) qui est compris entre -infini et f(0,1).
Si le montant dans l'enveloppe est supérieur à f(0,1), je garde l'enveloppe, pas besoin d'aller plus loin. Sinon, je retire ma pièce et retombe sur pile. Mon seuil devient f(0,00 ...) et je peux en déduire ma stratégie pour tous les montants supérieurs à f(0, 01), ce qui est mieux qu'avant.
Est-ce assez clair ? J'ai comme un doute, là.
C'est preque clair : je voudrait juste savoir pourquoi tu parle d'enveloppes alors que la question concerne juste un tirage selon une Gausienne.
Je précise avant que la remarque ne me soit faite que, bien que le nombre obtenu ne soit jamais exactement tiré d'une gaussienne (mais seulement d'une approximation discrète de celle-là), la réponse obtenue est exactement (pas une approximation, la vraie réponse) celle obtenue avec un seuil réellement tiré d'une loi gaussienne.
Dit autrement: si je veux comparer des nombres x_1, ..., x_n à un seuil s réel, je n'ai besoin de les comparer qu'avec une troncation suffisamment fine de s pour obtenir le résultat. Bien entendu, il n'existe pas de troncation suffisamment fine pour marcher avec tous les x possibles, mais il est possible d'en trouver une pour chaque x.
Simboubou dit:
C'est preque clair : je voudrait juste savoir pourquoi tu parle d'enveloppes alors que la question concerne juste un tirage selon une Gausienne.
Voir le message suivant. Je dis que, s'il n'est pas possible de tirer exactement d'une gaussienne, il est possible de comparer des réels à un montant tiré d'une gaussienne en un nombre fini d'opérations.
En pratique on se contente de fixer des intervalles (généralement de la taille de la précision numérique dont l'on dispose) et on effectue un choix de l'un des intervalles conformément à sa probabilité.
Je ne vois pas non plus ce qui embête titoufred, on dirait qu'il se pose un peu une question de philosophe (un truc lié à un problème mal formulé).
ps : Pour une loi normale, en pratique ce n'est pas une bonne idée d'utiliser l'inverse de la fonction de répartion. L'on préfère utiliser 2 loi uniformes et la méthode de Box-Muller.
ps2 : Un truc qui m'avait parut incroyable étant jeune c'est que des évènement de probabilité nulle arrivent. Ex: je fais un tirage selon un loi normale N(0,1) et j’obtiens un réel x. Quelle était ma proba de tirer ce x ?
Jeremie dit:
ps : Pour une loi normale, en pratique ce n'est pas une bonne idée d'utiliser l'inverse de la fonction de répartion. L'on préfère utiliser 2 loi uniformes et la méthode de Box-Muller.
Ah, c'est tout à fait possible. Je connais un peu de probas mais je suis une bille en calcul numérique
Bah c'est juste une ruse algorithmique pour éviter de se payer le calcul de l'inverse de la fonction de répartition.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Box-Muller
Jeremie dit:Bah c'est juste une ruse algorithmique pour éviter de se payer le calcul de l'inverse de la fonction de répartition.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Box-Muller
Connaissais pas, merci pour ma petite culture !
Et cette histoire d'enveloppe, c'est pas un peu l'histoire des 3 rideaux vu dans le film 21 avec Kevin Spacey ?
L'idée :
vous êtes dans un jeu télévisé, 3 rideaux devant vous, dont 1 avec une voiture derrière, et rien derrière les deux autres.
Vous choisissez un rideau, et avant de l'ouvrir, le présentateur en révèle un des deux autres pour montrer qu'il n'y a rien derrière.
Il vous demande donc, voulez vous changer de rideau pour prendre le deuxième ou bien restez vous sur votre choix.
Et l'idée soutenue par le monsieur est que oui, il faut changer de rideau, car nos chances de trouver la voiture viennent soudainement de grimper, et qu'il n'y a aucun interet a rester sur le premier rideau sinon on serait toujours dans le cas de 1 chance sur 3, alors qu'en changeant on passe dans le cas 1 chance sur 2.
Qu'en pensez-vous ? Désolé pour la synthèse peut-être grossière, je ne suis pas matheux et j'ai vu le film il y a longtemps 
En fait non, ce problème des deux enveloppes n'a pas franchement de rapport avec le problème de Monty Hall.
Il y a eu débat sur ce problème. Il apparait que ça dépend d'un détail important : le présentateur sait-il où se trouve la voiture ? Si oui, sait-on s'il va systématique ouvrir un rideau vide pour mettre le suspense ?
Pour arriver qu résultat du "on change", il faut que les réponses soit oui et oui.
Cf l'autre topic : "Deux pièges de proba classique".
genji dit:
Pour tirer un nombre d'une loi gaussienne, je vais tirer un nombre selon une loi uniforme dans [0, 1] puis je vais transformer ce nombre par l'inverse de la cumulative de la gaussienne. Comment dois-je tirer d'une uniforme dans [0,1] sachant que je n'ai qu'un temps fini ? Bonne question.
Je prends une pièce de monnaie et je vais tirer à pile ou face pour avoir les décimales du nombre (je tire le nombre en binaire et je le transforme en décimal, c'est plus simple). Bien sûr, il me faut une infinité de tirages pour avoir le nombre exact. En revanche, je n'ai pas besoin du nombre exact tant que je suis certain de sa relation au montant dans l'enveloppe. Si je n'en suis pas certain, je relance ma pièce pour ajouter des décimales et ce en nombre fini.
Exemple: supposons que Pile = 0 et Face = 1. Appelons f l'inverse de la cumulative de la gaussienne.
Je tire une fois ma pièce et tombe sur pile. Mon seuil est donc (en binaire) f(0,0 ....) qui est compris entre -infini et f(0,1).
Si le montant dans l'enveloppe est supérieur à f(0,1), je garde l'enveloppe, pas besoin d'aller plus loin. Sinon, je retire ma pièce et retombe sur pile. Mon seuil devient f(0,00 ...) et je peux en déduire ma stratégie pour tous les montants supérieurs à f(0, 01), ce qui est mieux qu'avant.
Est-ce assez clair ? J'ai comme un doute, là.
genji, bravo pour ta tentative de "traduction" de la méthode proposée par Madore. Je pense tout de même que ça ne marche pas à cause de la durée incontrôlée de ton protocole. En effet, le problème, c'est que tu considères implicitement que les sommes inscrites dans les enveloppes vont être "raisonnables". Mais que se passe-t-il si l'on a des sommes extrêmement grandes ou extrêmement petites ? Qu'est-ce que j'entends par extrêmement grande ou extrêmement petite ? Et bien une somme qui fait que ton protocole ne fournira jamais en un temps raisonnable une réponse se situant entre les deux montants des enveloppes. Dès lors, on ne peut assurer pouvoir gagner strictement plus d'une fois sur deux quels que soient les montants des enveloppes.
Si tu admet le tirage uniforme dans [0,1] tu peux générer un tirage selon une loi Normale (donc à densité sur R).
Le mécanisme décrit par Genji ne sert qu'à amener la précision du tirage (et ok incidemment fixe une valeur maximale au tirage). Par contre en augmentant le nombre de tirages de la pièces on a une probabilité non nulle d'obtenir un tirage plus grand que n'importe quel réel fixé.
Le problème, c'est que le protocole prend du temps. Les nombres très grands vont mettre plus de temps à s'atteindre, et il y a des nombres extrêmement grands que tu n'atteindras jamais en un temps raisonnable.
titoufred dit:Le problème, c'est que le protocole prend du temps. Les nombres très grands vont mettre plus de temps à s'atteindre, et il y a des nombres extrêmement grands que tu n'atteindras jamais en un temps raisonnable.
Qu'est-ce que "raisonnable" ? Cette phrase n'a pas de valeur mathématique. D'un point de vue pratique, un ordinateur te génèrera des millions de bits aléatoires chaque seconde, ce qui est largement suffisant pour améliorer l'espérance de gain (sachant que, si tu décales ton seuil de epsilon, ton espérance de gain variera d'une quantité en rapport avec epsilon et ce n'est donc pas fondamental dès qu'epsilon devient ridiculement petit).
Et ? C'est quoi le problème ? A nombre fixé c'est en temps fini.
Bon allez, pour fixer les idées, disons qu'un temps raisonnable c'est moins de 100 ans. Les enveloppes contiennent X et 2X. Pour améliorer la proba de 1/2, ton protocole doit fournir un nombre compris entre X et 2X. Je dis que pour certaines valeurs de X, le temps pris par ton protocole pour fournir un nombre compris entre X et 2X ne sera pas raisonnable.
Il faut définir "pas raisonnable".
tu veux tirer selon une N(0,1) (je suppose)
Si tu veux dire que je ne peux pas générer un nombre supérieur à une certaine valeur X en moins de 100 ans (en ayant le droit de faire 1 lancer de pièce par seconde) je vais te dire oui. Mais quel est le problème ? et d'où sort ta limite de 100 ans et ta limite sur les lancers ? Enfin quel problème cela te pose dans le cas des 2 enveloppes ?
Connais tu la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue ? Les lois à densité ?